几何探索题巡视。
探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一些**。本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。
一、实验型探索题。
例1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图1，在△abc中，ab＝ac，把底边bc分成m等份，连接顶点a和底边bc各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分。
图1问题提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗？
**与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？
如果要把正三角形的面积4等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图2(1)），这些线段将这个三角形分成了3个全等的等腰三角形）；再把所得到的每个等腰三角形的底边4等分，连接中心和各边等分点（如图2(2)，这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后依次把相邻的3个小三角形拼合在一起（如图2(3)），这样就能把这个正三角形的面积4等分了。
图2（1）实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。
图3（2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由。
（3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图4）的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？
图4（4）问题解决：怎样从正n边形（如图5）的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m等分？（叙述分法，不要求说明理由）
图5分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从中领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。
解：（1）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别5等分，连接中心和各分点，然后将每3个相邻的小三角形拼在一起，就可将正三角形的面积5等分了（图略）。
（2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别m等分，连接中心和各个分点，然后把每3个相邻的小三角形拼合在一起，即可把这个正三角形的面积m等分了。
理由：每个小三角形的底和高都相等，因此它们的面积都相等，每3个拼合在一起的图形面积当然也都相等，即把正三角形的面积m等分。
（3）先连接正方形的中心和各顶点，然后将正方形各边m等分，连接中心和各分点，再依次将相邻的4个小三角形拼合在一起，这就把这个正方形的面积m等分了。
（4）连接正n边形的中心和各顶点，然后将这个正n边形各边m等分，再依次将n个相邻的小三角形拼在一起，这就将这个正n边形的面积m等分了。
二、操作型探索题。
例2.已知线段ac＝8，bd＝6。
（1）已知线段ac⊥bd于o（o不与a、b、c、d四点重合），设图6（1）、图6（2）和图6（3）中的四边形abcd的面积分别为s1、s2、s3，则s1s2s3
图6（2）如图6（4），对于线段ac与线段bd垂直相交（垂足o不与点a、b、c、d重合）的任意情形，请你就四边形abcd面积的大小提出猜想，并证明你的结论；
（3）当线段bd与ac（或ca）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点a、b、c、d所围成的封闭图形的面积是多少。
分析：题（1）实际上是将bd沿ac由下向上移动，计算bc在不同位置时四边形abcd的面积，再观察计算结果。题（2）是ac沿bd左右移动，计算四边形abcd的面积，再观察计算结果。
题（3）是在更一般的情况下探索规律。这种由浅入深的探索方式是中考探索类问题的特点。
解：（1）24 24 24
（2）对于线段ac与线段bd垂直相交（垂足o不与点a、c、b、d重合）的任意情形，四边形abcd的面积为定值24。证明如下：
显然， （3）所围成的封闭图形的面积仍为24。
三、观察猜想型探索题。
例3. （山西省）如图7，正方形abcd的边cd在正方形efgc的边ce上，连接be、dg。
图7（1）观察并猜想be与dg之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）图7中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，说明理由。
分析：证明题是直接给出结论，要求寻找结论成立的理由，而这一类探索题是题目没有给出结论，要求自己下结论，并证明结论成立。这就要求有较强的观察猜想能力。
解：（1）be＝dg，证明如下：
在rt△bce和rt△dcg中，bc＝cd，ce＝cg，∴△bce≌△dcg。故be＝dg。
（2）将rt△bce绕点c顺时针旋转90°，可与rt△dcg重合。
四、图形计数型探索题。
例4.如图8，在图（1）中，互不重叠的三角形有4个，在图（2）中，互不重叠的三角形有7个，在图（3）中，互不重叠的三角形有10个，…，则在图（n）中互不重叠的三角形有___个（用含n的代数式表示）。
图8分析：这类图形计数型探索题有线段计数、射线计数、角计数等。解这类题首先要通过几个具体图形寻找规律，然后写出公式，或称一般表达式。解题的关键是找规律。
解：图（1）：1＋1×3＝4；图（2）：1＋2×3＝7；图（3）：1＋3×3＝10。
所以图（n）中有1＋3n个互不重叠的三角形，应填3n＋1。
五、其他类型探索题。
例5.如图9，已知ac、ab是⊙o的弦，ab＞ac。
图9（1）在图9（1）中，判断能否在ab上确定一点e，使得ac2＝ae·ab，并说明理由；
（2）在图9（2）中，在条件（1）的结论下，延长ec到p。连接pb，如果pb＝pe，试判断pb和⊙o的位置关系，并说明理由。
分析：一般的探索题是由特殊到一般，探求结论的普遍性，而这道题是两个小题互相独立，只是基本图形相同。题（1）是作出满足线段关系式的图形，题（2）是判断图形中的一些线段的相互关系。
解：（1）作法有多种，这里举一例。如图10，在⊙o上取点d，使＝，连接cd交ab于点e，则有ac2＝ae·ab。
连接bc，显然△ace∽△abc，则ab：ac＝ac：ae，故ac2＝ae·ab。
图10图11
（2）如图11，过点b作⊙o的直径bf，连接cf、bc。可以证明∠pbc＋∠fbc＝90°，即pb⊥bf。所以pb是⊙o的切线。
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