数学思想方法复习专题。
一、考点，热点分析：
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
二、知识点归纳：
常用的数学思想（数学中的四大思想）
1.函数与方程的思想。
用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
2．数形结合思想。
在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想。
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
4.等价转化思想。
等价转化是指同一命题的等价形式。可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
常用的数学方法。
主要有换元法、配方法和待定系数法三种。
三、例题解析。
例1】（2024年北京市东城区）解方程：(x+1)- 2．
解：设x＋1＝y，则原方程化为y-=2
去分母，得y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1,y2=3．
当y＝－1时，x＋1＝－1，所以x＝－2；
当y＝3时，x＋1＝3，所以x＝2．
经检验，x＝2和x＝－2均为原方程的解．
点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。
例2】已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则。
该抛物线的解析式为。
解析〗∵函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,∴b=-4a …①将点（1，4）、（5，0）的坐标分别代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=4…② 25a+5b+c=0③.解①②③得a=-,b=2,c=.
故抛物线的解析式为y=-x2+2x+.
点拨〗利用待定系数法可求函数的解析式、
代数式及多项式的因式分解等符合题设条件的数学式。
例3】（05年长沙市）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120 万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之问存在着如图所示的一次函数关系．
求y关于x的函数关系式；
试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
解〗：⑴设y=kx+b ，它过点(60，5)，(80，4)
解得 ∴y=-x+8,
z=yx-40y-120=（-x+8）（x-40）-120=-x2＋10x-440;
当x=100元时，最大年获得为60万元．
令z=40，得40=-x2＋10x-440，整理得：
x2-200x＋9600=0
解得：x1=80,x2=120，
由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．…(8分)又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．
点拨〗解此类问题，要仔细阅读题目，理清思路，从而建立数学模型（函数模型）
例4】（2024年福建漳州）如图，已知矩形abcd，ab=，bc=3，在bc上取两点e、f（e在f左边），以ef为边作等边三角形pef，使顶点p在ad上，pe、pf分别交ac于点g、h．
1）求△pef的边长；
2）在不添加辅助线的情况下，当f与c不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；
3）若△pef的边ef**段bc上移动．试猜想：ph与be有何数量关系？并证明你猜想的结论．
解] （1）过p作pq⊥bc于q
矩形abcd
∠b=90°，即ab⊥bc，又ad∥bc
pq=ab=
△pef是等边三角形。
∠pfq=60°
在rt△pqf中。
sin60°=,pf=2
△pef的边长为2．
2）正确找出一对相似三角形
正确说明理由
abc∽△cda
理由：∵矩形abcd,∴ab∥bc,∴∠1=∠2
∠b=∠d ∴△abc∽△cda
3）猜想：ph与be的数量关系是：ph-be=1
证：在rt△abc中，ab=,bc=3
tan∠1==,1=30°∴△pef是等边三角形。
∠2=60°,pf=pe=2,∵∠2=∠1+∠3 ∴∠3=30°
∠1=∠3 ∴fc=fh
ph+fh=2, be+ef+fc=3
ph-be=1
点评〗本题是一道很典型的几何型探索题，在近几年的中考压轴题中稳占一席之地，预计2024年仍会保持这一趋势。在本题中，第1小题较简单，第2小题则需学生仔细观察图形，做出准确猜想后再验证，第3小题对学生的**能力的要求更高一些，但由于解法较多，入题的通道较宽，因此难度并非十分大，体现数学联系的转化思想。
四、【能力测试】
一)、选择题。
若a的值使得x2+4x+a=（x+2）2-1成立，则a的值为。
a．5 b．4 c．3 d．2
（2005.杭州市）在右图的几何体中，上下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图中和下底面平行的直线有。
a)1条 (b)2条 (c)4条 (d)8条。
方程2x-x2=的正根的个数为。
a．0 b．1 c．2 d．3
以下四个图案中，既是轴对称又是中心对称图形的有。
a．４个 b．３个 c．２个 d．１个
（2005. 河南省）下列各数中，适合方程的一个近似值（精确到0.1）是。
a． 1.5b． 1.6c．1d．1.8
若点p（m,n）在第二象限，则点q（-m,-n）在象限。
a．第一 b．第二 c．第三 d．第四
（2005. 山西省）8抛物线的对称轴是x=2，且经过点p(3,0)。则的值为。
a、-1b、0c、1d、2
在直角坐标系中，o为坐标原点，a(1，1)，在x轴上确定一点p，使△aop为等腰三角形，则符合条件的点p共有( )
a)4个 (b)3个 (c)2个 (d)1个。
某商店把一商品按标价的九折**（即优惠10%），仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为。
a）21元 （b）19.8元（c）22.4元 （d）25.2元。
（2005.武汉市）已知⊙o的半径为8cm，如果一条直线和圆心o的距离为8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为。
a．相离 b．相切 c．相交 d．相交或相离
二)、填空题。
已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为 。
如图，在△abc中，∠acb=90°，ac=2，斜边在x轴上，点a的坐标为（2，0），则直角边bc所在的直线解析式为。
把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴。
的两个交点之间的距离是。
如图，用长度相等的火柴棒拼成由三角形组成的图形，第n个图形需要火柴棒的根数是 。
把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为1/2的矩形等分成两个面积为1/4的矩形，再把面积为1/4的矩形等分成两个面积为1/8的矩形，如此进行下去，试利用如下图揭示的规律计算。
（2024年河南省）要拼出和图1 中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图2）需要图1中的菱形的个数为。
三)、计算题：
如图，线段ab＝4，点o是线段ab上的点，点c、d是线段oa、ob的中点，小明很轻松地求得cd=2．他在反思过程中突发奇想：若点o运动到线段ab的延长线上或直线ab外，原有的结论“cd=2”是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由．
九年级数学上册配方法教案北师大版
总课时 10课时 2.2 配方法。教学目标。1.知识与技能。用一元二次方程解诀现实情境中的问题。认识运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，建立数学模型。能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。2.过程与方法。经历运用列方程解决实际问题的过程，提高学生抽象概括 发现问题 解决问题的能力。3.情感态度...
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北师大版九年级数学中考复习函数
九年级数学复习函数检测题三。一 选择题。1 下列函数中，自变量x的取值范围是x 2的是 a b c d 2 向一空容器内均匀注水，最后把容器注满，在注水过程中，容器的水面高度与时间的关系如图1所示，图中pq为线段，则这个容器是 3 若m 1，则下列函数 x 0 y mx，y m 1 x中，y的值随x...