九年级数学复习压轴题精选精析（九）
97.（2024年新疆乌鲁木齐）23．如图9，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．
1）试证明：无论点运动到何处，总与相等；
2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；
3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；
4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标．
2024年新疆乌鲁木齐23题解析）解：（1）∵点是的中点，∴，
又∵是的角平分线，∴，3分。
2）过点作的平分线的垂线，垂足为，点即为所求．
易知点的坐标为（2，2），故，作，是等腰直角三角形，∴，点的坐标为（3，3）．
抛物线经过原点，设抛物线的解析式为．
又∵抛物线经过点和点，有解得。
抛物线的解析式为． 7分。
3）由等腰直角三角形的对称性知d点关于的平分线的对称点即为点．
连接，它与的平分线的交点即为所求的点（因为，而两点之间线段最短），此时的周长最小．
抛物线的顶点的坐标，点的坐标，设所在直线的解析式为，则有，解得．
所在直线的解析式为．
点满足，解得，故点的坐标为．
的周长即是．
4）存在点，使．其坐标是或． 14分。
98.（2024年云南）23．（本小题14分）已知在平面直角坐标系中，四边形oabc是矩形，点a、c的坐标分别为、，点d的坐标为，点p是直线ac上的一动点，直线dp与轴交于点m．问：
1）当点p运动到何位置时，直线dp平分矩形oabc的面积，请简要说明理由，并求出此时直线dp的函数解析式；
2）当点p沿直线ac移动时，是否存在使与相似的点m，若存在，请求出点m的坐标；若不存在，请说明理由；
3）当点p沿直线ac移动时，以点p为圆心、半径长为r（r＞0）画圆，所得到的圆称为动圆p．若设动圆p的直径长为ac，过点d作动圆p的两条切线，切点分别为点e、f．请探求是否存在四边形depf的最小面积s，若存在，请求出s的值；若不存在，请说明理由．
注：第（3）问请用备用**答．
2024年云南23题解析）解：（1）连结与交于点，则当点运动到点时，直线平分矩形的面积．理由如下：
∵矩形是中心对称图形，且点为矩形的对称中心．
又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线过矩形的对称中心点，所以直线平分矩形的面积．……2分。
由已知可得此时点的坐标为．
设直线的函数解析式为．
则有解得，．
所以，直线的函数解析式为：． 5分。
2）存在点使得与相似．
如图，不妨设直线与轴的正半轴交于点．
因为，若△dom与△abc相似，则有或．
当时，即，解得．所以点满足条件．
当时，即，解得．所以点满足条件．
由对称性知，点也满足条件．
综上所述，满足使与相似的点有3个，分别为、、．9分。
3）如图 ，过d作dp⊥ac于点p，以p为圆心，半径长为画圆，过点d分别作的切线de、df，点e、f是切点．除p点外在直线ac上任取一点p1，半径长为画圆，过点d分别作的切线de1、df1，点e1、f1是切点．
在△dep和△dfp中，∠ped＝∠pfd，pf＝pe，pd＝pd，△dpe≌△dpf．
ｓ四边形depf＝2ｓ△dpe＝2×．
当de取最小值时，ｓ四边形depf的值最小．，．
．由点的任意性知：de是。
点与切点所连线段长的最小值．……12分。
在△adp与△aoc中，∠dpa＝∠aoc，dap＝∠cao， ∴adp∽△aoc．，即．∴．
ｓ四边形ｄｅｐ即ｓ＝．14分。
注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）
99（2024年浙江杭州）24. （本小题满分12分）
已知平行于x轴的直线与函数和函数的图象分别交于点a和点b，又有定点p（2，0） .
1）若，且tan∠pob=，求线段ab的长；
2）在过a，b两点且顶点在直线上的抛物线中，已知线段ab=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
3）已知经过a，b，p三点的抛物线，平移后能得到的图象，求点p到直线ab的距离 .
2024年浙江杭州24题解析）（1）设第一象限内的点b（m,n），则tan∠pob，得m=9n，又点b在函数的图象上，得，所以m=3（－3舍去），点b为，而ab∥x轴，所以点a（，）所以；
2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点a（a , a），b（，a），则ab=－ a =,所以，解得。
当a = 3时，点a（―3，―3），b（―，3），因为顶点在y = x上，所以顶点为（－，所以可设二次函数为，点a代入，解得k= －所以所求函数解析式为。
同理，当a =时，所求函数解析式为；
3）设a（a , a），b（，a），由条件可知抛物线的对称轴为。
设所求二次函数解析式为： .
点a（a , a）代入，解得，，所以点p到直线ab的距离为3或。
100.（2024年浙江湖州）已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为。直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点。
1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；
2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；
3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由。
2024年浙江湖州24题解析）
1）.…4分。
2）由题意得点与点′关于轴对称， ，将′的坐标代入得，不合题意，舍去），.2分。
点到轴的距离为3.
，直线的解析式为，它与轴的交点为点到轴的距离为。
………2分。
3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得：
不舍题意，舍去），…2分。
当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，与关于原点对称，将点坐标代入抛物线解析式得：，不合题意，舍去），，2分。
存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．
101.（2024年浙江嘉兴）24．如图，已知a、b是线段mn上的两点，，，以a为中心顺时针旋转点m，以b为中心逆时针旋转点n，使m、n两点重合成一点c，构成△abc，设．
1）求x的取值范围；
2）若△abc为直角三角形，求x的值；
3）**：△abc的最大面积？
2024年浙江嘉兴24题解析）（1）在△abc中，∵，解得． 4分。
2）①若ac为斜边，则，即，无解．
若ab为斜边，则，解得，满足．
若bc为斜边，则，解得，满足．
或． 9分。
3）在△abc中，作于d，设，△abc的面积为s，则．
若点d**段ab上，则．，即．，即．
（）．11分。
当时（满足），取最大值，从而s取最大值． 13分。
若点d**段ma上，则．
同理可得，
），易知此时．
综合①②得，△abc的最大面积为． 14分。
102.（2024年浙江丽水）24. 已知直角坐标系中菱形abcd的位置如图，c，d两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).
现有两动点p,q分别从a,c同时出发，点p沿线段ad向终点d运动，点q沿折线cba向终点a运动，设运动时间为t秒。
1)填空：菱形abcd的边长是 ▲ 面积是 ▲
高be的长是 ▲
2)**下列问题：
若点p的速度为每秒1个单位，点q的速度为每秒2个单位。当点q**段ba上时，求△apq的面积s关于t的函数关系式，以及s的最大值；
若点p的速度为每秒1个单位，点q的速度变为每秒k
个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得。
apq沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边。
形为菱形。请**当t=4秒时的情形，并求出k的值。
2024年浙江丽水24题解析）解：（1）5 , 243分。
2）①由题意，得ap=t，aq=10-2t1分。
如图1,过点q作qg⊥ad，垂足为g，由qg∥be得
aqg∽△abe,∴,qg1分。
(≤t≤5).
…1分。(≤t≤5).
当t=时，s最大值为6.……1分。
要使△apq沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组。
成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△apq为等腰三角形即可。
当t=4秒时，∵点p的速度为每秒1个单位，∴ap=.…1分。
以下分两种情况讨论：
第一种情况：当点q在cb上时， ∵pq≥be>pa，∴只存在点q1,使q1a=q1p.
如图2,过点q1作q1m⊥ap，垂足为点m，q1m交ac于点。
f,则am=.由△amf∽△aod∽△cq1f,得。
∴,1分。
cq1==.则1分。
第二种情况：当点q在ba上时，存在两点q2,q3,分别使a p= a q2,pa=pq3.
若ap=aq2，如图3,cb+bq2=10-4=6.
则，∴.1分
若pa=pq3，如图4,过点p作pn⊥ab，垂足为n，由△anp∽△aeb,得。
ae= ,an＝.
aq3=2an=, bc+bq3=10-
则。∴.………1分。
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形apq
沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或。
103.（2024年浙江宁波）26．如图1，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，点a的坐标为（－8，0），直线bc经过点b（－8，6），将四边形oabc绕点o按顺时针方向旋转α度得到四边形oa′b′c′，此时声母oa′、直线b′c′分别与直线bc相交于p、q．
1）四边形的形状是。
当α=90°时，的值是。
2）①如图2,当四边形oa′b′c′的顶点b′落在y轴正半轴上时，求的值；
如图3,当四边形oa′b′c′的顶点b′落在直线bc上时，求δopb′的面积．
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