1．如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过a（﹣1，0）b（3.0）、c（0，）三点。
1）求该抛物线的解析式；
2）p（x1，y1）、q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≤y2，求p点横坐标x1的取值范围；
3）如图二，过点c作x轴的平行线交抛物线于点e，该抛物线的对称轴与x轴交于点d，连结cd、cb，点f为线段cb的中点，点m、n分别为直线cd和ce上的动点，求△fmn周长的最小值．
2．如图，已知抛物线经过两点a（﹣3，0），b（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
1）求此抛物线的解析式；
2）若点p是抛物线上点a与点b之间的动点（不包括点a，点b），求△pab的面积的最大值，并求出此时点p的坐标．
3．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点a，将点a向右平移2个单位长度，得到点b，点b在抛物线上．
1）求点b的坐标（用含a的式子表示）；
2）求抛物线的对称轴；
3）已知点p（，﹣q（2，2）．若抛物线与线段pq恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线c：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点a（﹣3，﹣3），b（1，﹣1）均在直线l上．
1）若抛物线c与直线l有交点，求a的取值范围；
2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；
3）若抛物线c与线段ab有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
5．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
1）求b，c满足的关系式；
2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
6．如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点p（﹣2，3）．
1）求a的值和图象的顶点坐标．
2）点q（m，n）在该二次函数图象上．
当m＝2时，求n的值；
若点q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
7．一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点。
1）求k，a，c的值；
2）过点a（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于b，c两点，点o为坐标原点，记w＝oa2+bc2，求w关于m的函数解析式，并求w的最小值．
8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过a（﹣1，0），b（3，0）两点，交y轴于点c，点d为抛物线的顶点，连接bd，点h为bd的中点．请解答下列问题：
1）求抛物线的解析式及顶点d的坐标；
2）在y轴上找一点p，使pd+ph的值最小，则pd+ph的最小值为 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，
9．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．
1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．
10．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点a（3，0）和点b（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为c．
1）求抛物线的解析式；
2）连接ab、ac、bc，求△abc的面积．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点a（3，0）、点b（﹣1，0），与y轴交于点c．
1）求拋物线的解析式；
2）过点d（0，3）作直线mn∥x轴，点p在直线nn上且s△pac＝s△dbc，直接写出点p的坐标．
12．已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
1）求k的值；
2）若点p在物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且p到y轴的距离是2，求点p的坐标．
13．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．
1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；
2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
14．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点a，b（点a在点b的左侧）
1）求点a，b的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．
2）把点b向上平移m个单位得点b1．若点b1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点b2重合；若点b1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点b3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．
16．在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下。
乙写错了常数项，列表如下：
通过上述信息，解决以下问题：
1）求原二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
2）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当x 时，y的值随x的值增大而增大；
3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，其顶点为p，连接pa、ac、cp，过点c作y轴的垂线l．
1）求点p，c的坐标；
2）直线l上是否存在点q，使△pbq的面积等于△pac的面积的2倍？若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．已知：如图，在平面直角坐标系中，点p（m，m）（m＞0），过点p的直线ab与x轴正半轴交于点a，与直线y＝x交于点b．
1）当m＝3且∠oab＝90°时，求bp的长度；
2）若点a的坐标是（6，0），且ap＝2pb，求经过点p且以点b为顶点的抛物线的函数表达式．
19．已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．
1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于a（x1，0）、b（x2，0）两点，且|x1﹣x2|＝6，求m的值；
3）若m＞0，点p（a，b）与q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点p、q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
20．如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点a，b（点a位于点b的左侧），c为顶点，直线y＝x+m经过点a，与y轴交于点d．
1）求线段ad的长；
2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为c′．若新抛物线经过点d，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线cc′平行于直线ad，求新抛物线对应的函数表达式．
21．某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；
2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元。
3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
22．2023年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场**，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每**1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．
1）求y与x之间的函数关系式；
2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；
3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
23．某工厂制作a，b两种手工艺品，b每件获利比a多105元，获利30元的a与获利240元的b数量相等．
1）制作一件a和一件b分别获利多少元？
2）工厂安排65人制作a，b两种手工艺品，每人每天制作2件a或1件b．现在在不增加工人的情况下，增加制作c．已知每人每天可制作1件c（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作a，c两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作b，y人制作a，写出y与x之间的函数关系式．
3）在（1）（2）的条件下，每天制作b不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知c每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润w（元）的最大值及相应x的值．
24．湘潭**工作报告中强调，2023年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店a、b两种湘莲礼盒一个月的销售情况，a种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，b种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
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