（生活问题数学化策略研究）
成都石室白马中学易礼华。
主要内容简介：实际问题的数学模型是针对或参照应用特征或数量依存关系采用形式化的数学语言，概括或近似表达出来的一种数学结构，这些问题涉及生活的诸多方面，如利润问题、退耕还林问题、折扣问题、环保问题、市场经济问题、工农业生产及商业活动中，方案的最优化、最值问题，如盈利最大、用料最省、设计最佳……本节课结合实例介绍几种解实际问题常用的数学模型。
问题1、阅读下面对话再回答问题。
小红妈：“售货员，请帮我买些梨。”
售货员：“您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，**比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高。”
小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱。”
对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的**是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻2.5千克。
试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价。
已知条件及数量关系：每千克苹果的**是梨的1.5倍；
苹果的总重量比梨轻2.5千克；两次都用去了30元钱。
未知：梨和苹果的单价。
解：设梨每千克x元；则苹果每千克1.5x元，依题意得：
解得：x=4
经检验x=4是所列方程的根，且符合题意。
1.5x=6（元）
答：梨每千克4元，则苹果每千克6元。
类型一：方程（组）模型：
许多数学实际问题都要求我们求出一个（或几个）量来，或求出一个（或几个）量以后就可导致问题的最终解决，方程（组）就是最有效的工具。
问题2、仔细观察下图，认真阅读对话：
阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元）；
小朋友，本来你用10元买一盒饼干还有多的，但要再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好！还要找你的8角钱（一盒饼干的标价可是整数元哦！）
根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？
已知条件及数量关系：一盒饼干的标价<10元，且饼干的标价为整数元；
一盒饼干打九折后的**+一袋牛奶的**=10-0.8元；
未知：饼干和牛奶的标价。
解：设饼干的标价为每盒x元，牛奶的标价为每袋y元。
解得：8∴ x=9
y=1.1
答：饼干的标价为每盒9元，牛奶的标价为每袋1.1元。
类型二：不等式（组）模型：
数学实际问题中一些最优化，超过，不足等问题，往往需用不等式知识加以解决，这类问题的解法通常是根据题目所给信息，运用不等式（组）建立数学模型，再对可能出现的各种情况进行分类讨论而获解。
问题3、某市认真落实国家关于减轻农民负担，增加农民收入的政策，从2024年开始减征农业税，2024年至2024年征收农业税变化情况见表1，2024年市**为了鼓励农民多种粮食，实行保护价收购，并对种植优质水稻(如中籼稻)另给予每亩15元的补贴。该市农民李江家有4个劳动力，承包20亩土地，今年春季全部种中籼稻和棉花，种植中籼稻和棉花每亩所需的劳动力和预计每亩平均产值见表2。
表一表二。1）李江家从国家开始减征农业税后两年可少交农业税多少元？
2）设2024年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为p元，在不考虑上缴农业税以及他人帮工等其他因素的前提下，怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能确保p最大？最大值是多少元？
解：（1）李江家从国家开始减征农业税后两年可少交农业税多少元？
117.24-70.44)×20+ (117.24-38.26) ×20=2515.6(元)
2）设2024年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为p元，在不考虑上缴农业税以及他人帮工等其他因素的前提下，怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能确保p最大？最大值是多少元？
已知条件及数量关系：
李江家有4个劳动力，承包的20亩土地全部种中籼稻和棉花；
**对种植中籼稻另给予每亩15元的补贴；
表2中种植中籼稻和棉花每亩所需劳力和预计每亩平均产值的数据。
求：怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能确保总收入最大？最大值是多少？
解：设种植中籼稻的土地为x亩。
则p=785x+1200(20-x)+15x =-400x+24000
15≤x≤20
-400<0,∴p随x减小而增大。
当x=15时，p最大值=18000(亩)
20-x=20-15=5（亩）
答：中籼稻和棉花的种植面积分别为15亩和5亩时，才能保证p最大，为18000亩。
类型三：函数模型。
在数学应用题中，某些量的变化，通常都是遵循一定规律的，这些规律就是我们学过的函数，这类问题通常运用函数的性质，结合方程、不等式来解决。
小结：数学实际问题并不难，求解过程通常分三步：
1、阅读理解：即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题**现的量及其数学含义。
2、根据各个量的关系，进行数学化设计，即建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。
常用列表法，画图法等来帮助理解。）
3、进行标准化设计，即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决。
通常用解方程（组）、解不等式（组）、利用函数的性质等
知识的升华：
问题4、欣欣日用品零售店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把），欣欣商店根据销售记录，这种雨伞以零售单位每把为14元**时，月销售量为100把，如果零售单价每降价0.1元，月销售量增加5把。现在该公司的批发部为扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：
如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把时，其超过100把的部分每把按原批发单价九五折付费，但零售价每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元**时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？
（销售利润=销售款额-进货款额）
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