2023年上期九年级数学培优专题（七）
动点问题）1. 如图所示，四边形oabc为正方形，边长为6，点a、c分别在x轴，y轴的正半轴上，
点ｄ在oa上，且ｄ点的坐标为（2，0），p是ob上的一个动点，试求pd+pa和的最小。
值是（ ）a． b． c．4 d．6
2．如图，rt△abc中，∠c=90°，bc=6，ac=8．点p，q都是斜边ab上的动点，点p
从b 向a运动（不与点b重合），点q从a向b运动，bp=aq．点d，e分别是点a，b以q，p为对称中心的对称点， hq⊥ab于q，交ac于点h．当点e到达顶点a时，p，q同时停止运动．设bp的长为x，△hde的面积为y．
1） 求证：△dhq∽△abc；
2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
3）当x为何值时，△hde为等腰三角形？
3. 如图，在矩形abcd中， ab=4，bc=6，当直角三角板mpn 的直角顶点p在bc边上移动时，直角边mp始终经过点a，设直角三角板的另一直角边pn与cd相交于点q．bp=x，cq=y，那么y与x之间的函数图象大致是（ ）
4. 如图，点b坐标为（7，9） ⊙b的半径为3， ab⊥y轴，垂足为a，点p从a点出发。
沿射线ab运动，速度为每秒一个单位，设运动的时间t（s）：
1）当点p运动到圆上时，求t值，并直接写出此时p点坐标。
2）若p运动12s时，判断直线op与⊙b的位置关系，并说明你的理由。
3）点p从a点出发沿射线ab运动的过程中，请**直线op与⊙b有哪几种位置关系，并直接写出相应的运动时间t的取值范围。
5. 如图，在中，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过秒，四边形的面积最小．
6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形oabc是矩形，点b的坐标为（4，3）．平行于对角线ac的直线m从原点o出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形oabc的两边分别交于点m、n，直线m运动的时间为t（秒）．
1）点a的坐标是点c的坐标是。
2）设△omn的面积为s，求s与t的函数关系式；
3）探求（2）中得到的函数s有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．
7. ab是⊙o的直径，弦bc=2cm，f是弦bc的中点，∠abc=60°．若动点e以2cm/s的速度从a点出发沿着a→b→a方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结ef，当t值为___s时，△bef是直角三角形．
8.（2010湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形oabc的两边分别在x轴和y轴上，，现有两动点p、q分别从o、c同时出发，p**段oa上沿oa方向以每秒cm的速度匀速运动，q**段co上沿co方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
1）用t的式子表示△opq的面积s；
2）求证：四边形opbq的面积是一个定值，并求出这个定值；
3）当△opq与△pab和△qpb相似时，抛物线经过b、p两点，过线段bp上一动点m作y轴的平行线交抛物线于n，当线段mn的长取最大值时，求直线mn把四边形opbq分成两部分的面积之比．
1. a 3. d 5. 37. 1或1.75或2.25
2.（1）∵a、d关于点q成中心对称，hq⊥ab，∴=90°，hd=ha，， dhq∽△abc．
2）①如图1，当时， ed=，qh=，此时． 当时，最大值．
如图2，当时，ed=，qh=，此时． 当时，最大值．
y与x之间的函数解析式为y的最大值是．
3）①如图1，当时，若de=dh，∵dh=ah=，
de=，∴显然ed=eh，hd=he不可能；
如图2，当时，若de=dh， =
若hd=he，此时点d，e分别与点b，a重合，；
若ed=eh，则△edh∽△hda，∴，
当x的值为时，△hde是等腰三角形。
(２)当0＜t≤4时，om=t．由△omn∽△oac，得， on=，s=×om×on=．
当4＜t＜8时，如图，∵ od=t，∴ ad= t-4． 由△dam∽△aoc，可得am=．而△ond的高是3．
s=△ond的面积-△omd的面积=×t×3-×t×=．
3) 有最大值． 方法一：当0＜t≤4时， 抛物线s=的开口向上，在对称轴t=0的右边，s随t的增大而增大， 当t=4时，s可取到最大值=6；
当4＜t＜8时，∵ 抛物线s=的开口向下，它的顶点是（4，6）， s＜6． 综上，当t=4时，s有最大值6．
4.（1）t1=4，t2=10，p1（4，9），p2（10，9）
（2）相切。
8.解：（1）由题意知，oq＝8－t,op＝t,∴．
2）由题意知，ab＝oc＝8,cq＝ t, cb＝oa＝8,pa＝8－t, ;
四边形opbq的面积是一个定值，这个定值为32．
3）当△opq与△pab和△qpb相似时，应满足．
整理，得，解得，（不合题意）．
此时p(,0),b(,8) ．
因抛物线经过b、p两点，所以将b、p两点的坐标代入，得。
解得。所以经过b、p两点的抛物线为．
设过b、p两点的直线为y＝kx+b, 将b、p两点的坐标代入，得。
解得。所以过b、p两点的直线为y＝x－8．
依题得，动点m的坐标（x, x－8），n的坐标（x,）
mn＝（x－8）－（
当时，mn的长最大，此时直线mn把四边形opbq分成两部分的面积之比3：1．
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