概率论与随机过程复习参考

发布 2022-10-11 18:23:28 阅读 7722

---可参考从中取题做为考试题。

概率基本概念。

1.需掌握概念:

随机试验,样本空间。

随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,事件间的关系(包含,相等,和,积,差,互斥,互逆),完备事件组(全包含,不重复),运算律(德摩根律),事件的描述及转换。

记数法则(乘法定理、加法定理),古典概型,抽样问题(可否放回、是否有序),分配问题,几何概型。

概率的性质,条件概率(两种理解方式),全概率公式,贝叶斯公式(先验概率,后验概率)。

事件独立性,两两独立与相互独立。

2.公式。注意条件不变。

条件概率。乘法定理。

全概率公式

贝叶斯公式。

独立。3.习题。

设a,b是两件事件且p(a)=0.6, p(b)=0.7.

问:(1)在什么条件下p(ab)取得最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下p(ab)取得最小值,最小值是多少?

解: ,且。

取最小值,p(ab)取最大值,

当时, =1取最大值,p(ab)取最小值,

在11张卡片上分别写上probability,从中任意连抽7张,求其排列结果为ability的概率。

解:a…..

样本空间,但由于正确排列中有重复字母。

正确排列的样本点数为。

将3个球随机的放入4个杯子中,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率。

解:3个球放入4个杯子有种放法(每个球有4种选择,共3只球)

杯中最大个数为1:从4只杯中任选3只,每只杯中一个球,则。

杯中最大个数为2:从4只杯中任选一只,从3只球中任选两只放入,剩余1球放入另外3个杯中的某一个中,则。

杯中最大个数为3:3只球放入4只杯子的任一个中。

已知在10只晶体管中有2只次品,在其中取两次,每次任取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率:

1)两只都是**。

2)两只都是次品。

3)一只是**,一只是次品。

4)第二次取出的是次品。

解:首先建模。设=

第i次取出的是次品} (

已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲者,今从男女人数相等的人群中随机挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?

解:建模。设a=,b=

c=全概率公式) 且

将a,b,c三个字母一一输入信道,输出为原字母的概率为,而输出为其它一字母的概率都是,今将字母串aaaa, bbbb, cccc之一输入信道,输入aaaa, bbbb, cccc的概率分别为,已知输出为abca,问输入的是aaaa的概率是多少?

解:设 a=b=c=

h=则由贝叶斯公式:

随机变量及其分布。

1. 需掌握概念。

复习下微积分公式(以及其他相关数学,比如随机过程要用的三角变换等)

随机变量,分布函数,分布函数性质(不减、右连续、[0,1],-

离散型随机变量,分布律,性质(求和=1)。常见分布的分布律(0-1分布,二项分布,超几何分布,泊松分布,几何分布),二项分布→泊松分布,几何分布无记忆性。

连续型随机变量,概率密度函数,概率密度函数的性质(非负,积分=1),事件的概率,分布函数与概率密度的关系,常用的概率分布(均匀分布,指数分布,正态分布),正态分布性质,正态分布标准化。

求随机变量函数,一般方法(离散型、连续型),(分段)公式法。

2.公式。3.习题。

进行重复独立试验,设每次试验成功的概率位p,失败的概率为q=1-p (0(1) 将试验进行到出现一次成功为止,以x表示所需的试验次数,求x的分布律。

2) 将试验进行到出现r次成功为止,以y表示所需的试验次数,求y的分布律。

3) 一篮球运动员的投篮命中率为45%,以x表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出x的分布律,并计算x取偶数的概率。

解:(1) 事件表示前k-1次试验失败,第k次成功,因此x的分布律为。

1) 事件表示前k-1次中成功r-1次,第k次成功,因此y的分布律为。

2) 事件表示前k-1次投篮失败,第k次投篮成功,则x的分布律为。

x取偶数的概率

5一房间有3扇窗户,只有一扇打开,有一只鸟要飞出房间,设它选择窗户是随机的,求:

1)以x表示鸟飞出房间试飞的次数,求x分布律。

2)假设鸟有记忆,没扇窗户尝试次数不多于一次,以y表示鸟飞出房间试飞的次数,求x分布律。3)求p

一**交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布,求:

1) 每分钟恰有8次呼唤的概率;

2) 每分钟的呼唤次数大于10的概率。

解:设x为每分钟收到呼唤的次数。则

设随机变量x的分布函数为。

1) 试求, ,

2) 求概率密度函数。解:

1) 由统计物理学知,分子运动速度的绝对值x服从maxwell分布,其概率密度为。

其中,k为boltzmann常数,t为绝对温度,m是分子的质量,试确定常数a。

2) 研究了项格兰在1875~2024年期间,在矿山发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度,得知相继两次事故之间的时间t(以日计)服从指数分布,其概率密度为。

求分布函数,并求概率。

解:(1)

26设,1) 求;

2) 确定c使得。解:

2) 由得。

则 c = 3.

某种型号的电子管的寿命x(以小时计),具有以下的概率密度,现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立),任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少?

解: 电子管寿命大于1500小时的概率:

设a=,.设随机变量x在(0,1)服从均匀分布。

1) 求的概率密度。

2) 求的概率密度。解:

多维随机变量及其分布。

1.需掌握概念:

联合分布函数,分布函数性质([0,1],-

联合分布律,分布律性质(求和=1),分布律→分布函数,联合→边际分布律(注意求和范围),边际分布律→联合, 条件分布律(性质)

联合概率密度函数,联合密度函数→分布函数(注意积分顺序的影响),密度函数性质(非负,积分=1),典型分布(均匀分布,正态分布性质),联合→边际分布(密度)函数,条件密度(分布)函数,独立判定,联合、条件、边际关系:

多维随机变量函数分布,离散型,一般方法,x+y型(注意积分范围),max/min型,公式法。

2. 公式。

3习题。3设随机变量的概率密度为。

1) 确定常数k;

2) 求p3) 求p

4) 求p解:(1)

设二维随机变量(x,y)的概率密度为。

1) 试确定常数c;

2) 求边缘概率密度。

解:(1)

以x记某一医院一天出生的婴儿的个数,y记其中男婴的个数,记x和y的联合分布律为。

1) 求边缘分布律。

2) 求条件分布律。

3) 特别写出当x=20时,y的条件分布律。

解:(1)

设随机变量(x,y)的概率密度为。

1) 问x和y是否相互独立。

2) 求z=x+y的概率密度。

解:(1) x的边缘密度。

y的边缘密度。

同理 x和y不独立。

设随机变量(x, y)的分布律为。

1) 求。2) 求v = max(x, y)的分布律。

3) 求u = min(x, y)的分布律。

4) 求w = x+y的分布律。

解:(1)

2) v的取值范围是0,1,2,3,4,5

x,y的取值组合有种。

当x=y=0时,v=0 (一种组合)

当x=0, y=1; x=1, y=0; x=1, y=1时,v=1 (三种组合)

因此可得v的分布律为下表。

3)u的取值范围是0,1,2,3

同理得u的分布律为。

4) w的取值范围是0,1,2,3,4,5,6,7,8

随机变量的数字特征。

1.需掌握概念:

期望(离散型,连续型),函数的期望(随机变量函数法,直接法),多维随机变量期望,期望性质。

方差、均方差标准差(离散型,连续型),方差性质。

典型分布均值、方差(0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布)

协方差,相关系数,协方差性质,柯西施瓦兹不等式,独立与不相关(正态分布),矩(一阶、二阶,中心、原点,混合),协方差矩阵,正态分布性质(任意线性组合,线性不变形,相关独立等价,二阶矩完全确定)

2.公式。2.习题。

5设在某一规定的时间间隔里,某电气设备用于最大负荷的时间x(以分计)是一个随机变量,其概率密度为。

概率论与随机过程复习参考

可参考从中取题做为考试题。概率基本概念。1 需掌握概念 随机试验,样本空间。随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,事件间的关系 包含,相等,和,积,差,互斥,互逆 完备事件组 全包含,不重复 运算律 德摩根律 事件的描述及转换。记数法则 乘法定理 加法定理 古典概型,抽样问题 可否放回 是否有序...

《概率论与随机过程》概率论部分习题

概率论与随机过程 概率论部分习题。一 设a b c为三事件,用a b c运算关系表示下列事件 1 a发生,b与c不发生。2 a b c中至少有一个发生。3 a b c中至少有两个发生。4 a b c中不多于一个发生。二 填空。1 设a b为两个事件,且,则。2 若事件a发生必导致事件b发生,且 3 ...

概率论与随机过程作业

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