---可参考从中取题做为考试题。
概率基本概念。
1．需掌握概念：
随机试验，样本空间。
随机事件，基本事件，必然事件，不可能事件，事件间的关系（包含，相等，和，积，差，互斥，互逆），完备事件组（全包含，不重复），运算律（德摩根律），事件的描述及转换。
记数法则（乘法定理、加法定理），古典概型，抽样问题（可否放回、是否有序），分配问题，几何概型。
概率的性质，条件概率（两种理解方式），全概率公式，贝叶斯公式（先验概率，后验概率）。
事件独立性，两两独立与相互独立。
2．公式。注意条件不变。
条件概率。乘法定理。
全概率公式
贝叶斯公式。
独立。3．习题。
设a,b是两件事件且p(a)=0.6, p(b)=0.7.
问：（1）在什么条件下p(ab)取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下ｐ(ab)取得最小值，最小值是多少？
解： ，且。
取最小值，p(ab)取最大值，
当时， =1取最大值，p(ab)取最小值，
在11张卡片上分别写上probability，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。
解：a…..
样本空间，但由于正确排列中有重复字母。
正确排列的样本点数为。
将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。
解：3个球放入4个杯子有种放法（每个球有4种选择，共3只球）
杯中最大个数为1：从4只杯中任选3只，每只杯中一个球，则。
杯中最大个数为2：从4只杯中任选一只，从3只球中任选两只放入，剩余1球放入另外3个杯中的某一个中，则。
杯中最大个数为3：3只球放入4只杯子的任一个中。
已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：
1）两只都是**。
2）两只都是次品。
3）一只是**，一只是次品。
4）第二次取出的是次品。
解：首先建模。设=
第i次取出的是次品} （
已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：建模。设a=，b=
c=全概率公式） 且。
将a,b,c三个字母一一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其它一字母的概率都是，今将字母串aaaa, bbbb, cccc之一输入信道，输入aaaa, bbbb, cccc的概率分别为，已知输出为abca，问输入的是aaaa的概率是多少？
解：设 a=b=c=
h=则。
由贝叶斯公式：
随机变量及其分布。
1． 需掌握概念。
复习下微积分公式（以及其他相关数学，比如随机过程要用的三角变换等）
随机变量，分布函数，分布函数性质（不减、右连续、[0,1]，-
离散型随机变量，分布律，性质（求和=1）。常见分布的分布律（0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，几何分布），二项分布→泊松分布，几何分布无记忆性。
连续型随机变量，概率密度函数，概率密度函数的性质（非负，积分=1），事件的概率，分布函数与概率密度的关系，常用的概率分布（均匀分布，指数分布，正态分布），正态分布性质，正态分布标准化。
求随机变量函数，一般方法（离散型、连续型），（分段）公式法。
2．公式。3．习题。
进行重复独立试验，设每次试验成功的概率位p，失败的概率为q=1-p (0(1) 将试验进行到出现一次成功为止，以x表示所需的试验次数，求x的分布律。
2) 将试验进行到出现r次成功为止，以y表示所需的试验次数，求y的分布律。
3) 一篮球运动员的投篮命中率为45%，以x表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出x的分布律，并计算x取偶数的概率。
解：(1) 事件表示前k-1次试验失败，第k次成功，因此x的分布律为。
1) 事件表示前k-1次中成功r-1次，第k次成功，因此y的分布律为。
2) 事件表示前k-1次投篮失败，第k次投篮成功，则x的分布律为。
x取偶数的概率。
5一房间有3扇窗户，只有一扇打开，有一只鸟要飞出房间，设它选择窗户是随机的，求：
1）以x表示鸟飞出房间试飞的次数，求x分布律。
2）假设鸟有记忆，没扇窗户尝试次数不多于一次，以y表示鸟飞出房间试飞的次数，求x分布律。3）求p
一**交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求：
1) 每分钟恰有8次呼唤的概率；
2) 每分钟的呼唤次数大于10的概率。
解：设x为每分钟收到呼唤的次数。则。
设随机变量x的分布函数为。
1) 试求， ,
2) 求概率密度函数。解：
1) 由统计物理学知，分子运动速度的绝对值x服从maxwell分布，其概率密度为。
其中，k为boltzmann常数，t为绝对温度，m是分子的质量，试确定常数a。
2) 研究了项格兰在1875~2024年期间，在矿山发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的时间t(以日计)服从指数分布，其概率密度为。
求分布函数，并求概率。
解：(1)
26设，1) 求；
2) 确定c使得。解：
2) 由得。
则。c = 3.
某种型号的电子管的寿命x(以小时计)，具有以下的概率密度，现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？
解： 电子管寿命大于1500小时的概率：
设a=，.设随机变量x在(0,1)服从均匀分布。
1) 求的概率密度。
2) 求的概率密度。解：
多维随机变量及其分布。
1．需掌握概念：
联合分布函数，分布函数性质（[0,1]，-
联合分布律，分布律性质（求和=1），分布律→分布函数，联合→边际分布律（注意求和范围），边际分布律→联合， 条件分布律（性质）
联合概率密度函数，联合密度函数→分布函数（注意积分顺序的影响），密度函数性质（非负，积分=1），典型分布（均匀分布，正态分布性质），联合→边际分布（密度）函数，条件密度（分布）函数，独立判定，联合、条件、边际关系：
多维随机变量函数分布，离散型，一般方法，x+y型(注意积分范围)，max/min型，公式法。
2． 公式。
3习题。3设随机变量的概率密度为。
1) 确定常数k;
2) 求p3) 求p
4) 求p解：(1)
设二维随机变量(x,y)的概率密度为。
1) 试确定常数c;
2) 求边缘概率密度。
解：(1)
以x记某一医院一天出生的婴儿的个数，y记其中男婴的个数，记x和y的联合分布律为。
1) 求边缘分布律。
2) 求条件分布律。
3) 特别写出当x=20时，y的条件分布律。
解：(1)
设随机变量(x,y)的概率密度为。
1) 问x和y是否相互独立。
2) 求z=x+y的概率密度。
解：(1) x的边缘密度。
y的边缘密度。
同理。x和y不独立。
设随机变量（x, y）的分布律为。
1) 求。2) 求v = max(x, y)的分布律。
3) 求u = min(x, y)的分布律。
4) 求w = x+y的分布律。
解：(1)
2) v的取值范围是0，1，2，3，4，5
x，y的取值组合有种。
当x=y=0时，v=0 （一种组合）
当x=0, y=1; x=1, y=0; x=1, y=1时，v=1 (三种组合)
因此可得v的分布律为下表。
3)u的取值范围是0，1，2，3
同理得u的分布律为。
4) w的取值范围是0，1，2，3，4，5，6，7，8
随机变量的数字特征。
1．需掌握概念：
期望（离散型，连续型），函数的期望（随机变量函数法，直接法），多维随机变量期望，期望性质。
方差、均方差标准差（离散型，连续型），方差性质。
典型分布均值、方差（0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布）
协方差，相关系数，协方差性质，柯西施瓦兹不等式，独立与不相关（正态分布），矩（一阶、二阶，中心、原点，混合），协方差矩阵，正态分布性质（任意线性组合，线性不变形，相关独立等价，二阶矩完全确定）
2．公式。2．习题。
5设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间x（以分计）是一个随机变量，其概率密度为。
求e(x).
解：由数学期望的定义。
设随机变量x的分布律为。求。解：
设随机变量的概率密度分别为。
1)求。2)又设相互独立，求。
解：(1)
2) 相互独立。
设二维随机变量(x, y)的概率密度为。
试验证x和y是不相关的，但x和y不是互相独立的。
解： 由x和y的对称性，
和是偶函数，
是不相关的。
概率论与随机过程复习参考
可参考从中取题做为考试题。概率基本概念。1 需掌握概念 随机试验，样本空间。随机事件，基本事件，必然事件，不可能事件，事件间的关系 包含，相等，和，积，差，互斥，互逆 完备事件组 全包含，不重复 运算律 德摩根律 事件的描述及转换。记数法则 乘法定理 加法定理 古典概型，抽样问题 可否放回 是否有序...
《概率论与随机过程》概率论部分习题
概率论与随机过程 概率论部分习题。一 设a b c为三事件，用a b c运算关系表示下列事件 1 a发生，b与c不发生。2 a b c中至少有一个发生。3 a b c中至少有两个发生。4 a b c中不多于一个发生。二 填空。1 设a b为两个事件，且，则。2 若事件a发生必导致事件b发生，且 3 ...
概率论与随机过程作业
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