概率论大作业随机性检验

关于两个无限不循环小数序列的随机性比较。

化学工程系分1

2011011743 黄浩。

引言】和[',altimg': w': 27', h':

29', omath': 3'}]是我们十分熟悉的两个无限不循环小数，但他们究竟是不是随机数列呢？一方面，他们的序列十分混乱，看似是随机的；但另一方面，他们的任意一位数都可以通过现有的数学公式得出，不能称为严格意义上的随机序列。

若要完全解答“随机性检验”这个问题，会涉及到非常高深的数学知识，但进行随机性的比较，却相对容易的多。因此，作者借助于简单的数学模型和初等的统计特征，对这两个序列进行了随机性的比较。最终得出的结论是，π具有更强的随机性。

正文】1.随机数列的分布。

我们先来考虑任意一个随机数列的分布特征。

若设数列第i位的取值为xi，则其分布列为：

=4.5x}=2.8723(以下统称这种分布为x分布)',altimg':

w': 478', h': 37', omath':

且有：x=4.5 σx=2.

8723（以下统称这种分布为x分布）'}

2.π和[',altimg': w': 27', h': 29', omath': 3'}]的几个统计特征。

对于π和[',altimg': w': 27', h':

29', omath': 3'}]的小数序列，若具有随机性，则其总体必定服从x分布。因此我们可以通过比较样本平均值、标准偏差以及样本分布列来比较二者的随机性大小。

于是作者使用c语言，编译了一个小程序，对二者的统计特征进行了初步的计算。二者的前1000位小数见附1，计算统计特征的c**见附2，所得结果如下：

从上述结果看，π的两个统计特征都比[',altimg': w': 27', h': 29', omath': 3'}]更接近于x。

以下是π和[',altimg': w': 27', h': 29', omath': 3'}]的分布列：

从上述结果看，π的分布列与x的分布偏差更小，更接近于x。而且我们可以看到，['altimg': w':

27', h': 29', omath': 3'}]序列中的数字4明显偏少，而8明显偏多，这种偏向性使得它的随机性变差了。

在上表中，单纯比较偏差数，虽然会对二者的随机性大小提供一个相对的指标，但我们还可以运用概率统计知识，进行分布拟合检验，检验在给定的显著性水平上，是否能接受最初的假设。根据英国统计学家的研究，对于本文的x分布，有如下的检验统计量：

^=\sum\\limits^}_n_)}altimg': w': 150', h': 65', omath': 2=i=09(ni-npi)2npi'}]

近似服从自由度为9的卡方分布，[^altimg': w': 22', h':

21', omath': 2'}]值越大，表示偏离程度更大。因此对于给定的显著性水平α，检验的拒绝域为：

[^left(\ight)\\altimg': w': 156', h':

30', omath': w='}

若取α=0.01，则[^≥21.6660\\}altimg': w': 166', h': 21', omath': w='}

经过计算，[ight)}^4.74<_}right)}^10.5', altimg':

w': 211', h': 36', omath':

2=4.74<χ32=10.5'}]因此，在显著性水平为0.

01的情况下，我们不能推翻二者是0~9的随机序列的假设，而且相对于[',altimg': w': 27', h':

29', omath': 3'}]我们对于π更有把握承认它的随机性。

3. 比较π和[',altimg': w': 27', h': 29', omath': 3'}]的“还原能力”

当然，仅仅有上述的比较是远远不够的。外在的统计特征，只能从整体上进行比较其是否“均匀”，而无法对其内在规律进行研究。如考虑一个周期性的序列“01234567890123……789”，它更加类似于x分布，然而它却不是随机序列。

因此，要真正考察它们内在的随机性与无规律性，还要从其各个数字的取值上，进行深入研究。

现在考虑这样的一个生活经验，我们连续投掷硬币，正巧前5次都是正面，那么我们会觉得，下一次是反面的几率大一些。这是直观上的感受，但从事件的独立性以及几何分布的无记忆性上判断，这当然是错误的。但是从统计的角度讲，这是合理的，因为随着样本数目的增多，正反的数目应该趋于相等。

因此，我们认为，随机序列的分布有记忆性，不妨暂称这种记忆性为“还原能力”。

再进一步推广至本问题，在前n个数字中，出现次数最少的一个（称之为寡数），成为第n+1个个体的几率就越大，而在没有周期性的前提下，随机性越好的序列，越遵守这种性质。于是作者又使用c语言对上述情形进行了测试，使用了前500个数字作为初始数据，找到他们之**现次数最少的数字，然后从n=500开始，依次比较第n+1个是否是前n个数字中的寡数。程序**见附3，测试结果如下：

由上述结果可以看出，π的记忆能力更强，即对于序列所欠缺的数字，有一种“自然的调控力”，使之更满足随机性。

4.π和[',altimg': w': 27', h': 29', omath': 3'}]的重复性检验。

我们来考虑最后一个方法，即重复性检验。即将这两个容量为1000的序列，等分成若干个数组，各个数组分别包含n个相邻数字，然后统计在这些数组中，重复数组出现的次数f。这可以认为是“舞伴效应”，就像是舞会一样，如果同学没有被充分打散，那么同班同学之间互成舞伴的可能性就更大。

因此，具有更强随机性的序列，重复次数应小一些。作者使用了c语言，对这个过程进行了模拟，部分**见附4，结果如下：

我们看到，当n=2时，f相等，随着n的增加，f的差别越来越明显，这也说明了π序列重复的数组更少，随机性更好。当然，在这一点上，二者并没有很大的差别。

结论】本文借助了三个工具：π和[',altimg': w':

27', h': 29', omath': 3'}]的统计特征、“还原能力”和数列的重复性，来比较π和[',altimg':

w': 27', h': 29', omath':

3'}]的随机性大小。统计特征是利用样本均值、样本偏差、样本分布列，与标准的x分布进行比较，与x偏差越小（或检验统计量[^'altimg': w':

22', h': 21', omath': 2'}]越小），说明随机性更强；“还原能力”是考察这两个数列是否具有“自动”补充寡数的能力，这种能力强的序列，具有更好的随机性；重复性检验是将序列切分成等容量的数组，比较数组的重复次数，重复次数越多说明随机性越差。

最终，作者得到了π数列的随机性更强的结论。

附1】π和[',altimg': w': 27', h': 29', omath': 3'}]的前1000位小数序列。

', altimg': w': 27', h': 29', omath': 3'}]1.)73205……

附2】计算π和[',altimg': w': 27', h': 29', omath': 3'}]统计特征的c语言**。

#include <>

void main()

char pai[1010];

double **erage_pai,variance_pai=0;

int num_pai[11]=;

int i,sum_pai=0;

gets(pai);

i=0;while(i!=1000)i++;

for(i=0;i<=9;i++)

for (i=0;i<=999;i++)

**erage_pai=double(sum_pai)/1000;

for(i=0;i<=999;i++)

variance_pai=sqrt(variance_pai/999);

printf("%f",**erage_pai);

printf("%f",variance_pai);

附3】统计π和[',altimg': w': 27', h': 29', omath': 3'}]的“还原能力”的**。

#include <>

void main()

char pai[1010];

int num_pai[11]=;

int i,j,min,min_num,count;

gets(pai);

i=0;while(i!=500)i++;

count=0;

while (i!=1000)

switch(pai[i]-48)

if ((pai[i]-48)==min_num) count++;i++;

printf("%d",count);

附4】检验π与[',altimg': w': 27', h': 29', omath': 3'}]重复性的**（n=4的情况）

#include <>

void main()

char pai[1010];

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