25.【2012高考真题广东理18】（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa⊥平面abcd，点 e**段pc上，pc⊥平面bde．
1） 证明：bd⊥平面pac；
2） 若ph=1，ad=2，求二面角b-pc-a的正切值；
26.【2012高考真题辽宁理18】(本小题满分12分)
如图，直三棱柱，，点m，n分别为和的中点。
(ⅰ)证明：∥平面；
(ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。
答案】27.【2012高考真题湖北理19】（本小题满分12分）
如图1，，，过动点a作，垂足d**段bc上且异于点b，连接ab，沿将△折起，使（如图2所示）．
ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在。
棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．
第19题图。
答案】（ⅰ解法1：在如图1所示的△中，设，则．
由，知，△为等腰直角三角形，所以。
由折起前知，折起后（如图2），，且，所以平面．又，所以．于是。
当且仅当，即时，等号成立，故当，即时， 三棱锥的体积最大。
解法2：同解法1，得．
令，由，且，解得．
当时，；当时，．
所以当时，取得最大值．
故当时， 三棱锥的体积最大。
ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．
由（ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．
于是可得，且．
设，则。 因为等价于，即。
故，.所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．
设平面的一个法向量为，由及，得可取．
设与平面所成角的大小为，则由，，可得。
即．故与平面所成角的大小为。
解法2：由（ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．
如图b，取的中点，连结，，，则∥.
由（ⅰ）知平面，所以平面。
如图c，延长至p点使得，连，，则四边形为正方形，所以。 取的中点，连结，又为的中点，则∥，所以。 因为平面，又面，所以。
又，所以面。 又面，所以。
因为当且仅当，而点f是唯一的，所以点是唯一的。
即当（即是的靠近点的一个四等分点。
连接，，由计算得，所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取的中点，连接，则平面．在平面中，过点作于，则平面．故是与平面所成的角．
在△中，易得，所以△是正三角形，故，即与平面所成角的大小为。
28.【2012高考真题新课标理19】（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，，是棱的中点，
1）证明：
2）求二面角的大小。
答案】（1）在中，
得： 同理：
得：面。（2）面。
取的中点，过点作于点，连接，面面面。
得：点与点重合。
且是二面角的平面角。
设，则， 既二面角的大小为。
29.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．
求证：（1）平面平面；
（2）直线平面．
答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。
又∵平面，∴。
又∵平面，∴平面。
又∵平面，∴平面平面。
2）∵，为的中点，∴。
又∵平面，且平面，∴。
又∵平面，，∴平面。
由（1）知，平面，∴∥
又∵平面平面，∴直线平面。
解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。
（2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。
30.【2012高考真题四川理19】(本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，，，平面平面。
ⅰ）求直线与平面所成角的大小；
ⅱ）求二面角的大小。
31.【2012高考真题福建理18】如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中aa1=ad=1，e为cd中点。
ⅰ）求证：b1e⊥ad1；
ⅱ）在棱aa1上是否存在一点p，使得dp∥平面b1ae？若存在，求ap的行；若存在，求ap的长；若不存在，说明理由。
ⅲ）若二面角a-b1ea1的大小为30°，求ab的长。
答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想。
32.【2012高考真题北京理16】（本小题共14分）
如图1，在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ac=6，d，e分别是ac，ab上的点，且de∥bc，de=2，将△ade沿de折起到△a1de的位置，使a1c⊥cd,如图2.
i)求证：a1c⊥平面bcde；
ii)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；
iii)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由。
答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。
2）如图建系，则，设平面法向量为。
则 ∴ 又∵，与平面所成角的大小。
3）设线段上存在点，设点坐标为，则。
则，设平面法向量为，则 ∴
假设平面与平面垂直，则，∴，不存**段上存在点，使平面与平面垂直。
33.【2012高考真题浙江理20】(本小题满分15分)如图，在四棱锥p—abcd中，底面是边长为的菱形，且∠bad＝120°，且pa⊥平面abcd，pa＝，m，n分别为pb，pd的中点．
ⅰ)证明：mn∥平面abcd；
ⅱ) 过点a作aq⊥pc，垂足为点q，求二面角a—mn—q的平面角的余弦值．
命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，二面角所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。
答案】(ⅰ如图连接bd．
m，n分别为pb，pd的中点，在pbd中，mn∥bd．
又mn平面abcd，mn∥平面abcd；
ⅱ)如图建系：
a(0，0，0)，p(0，0，)，m(，，0)，n(，0，0)，c(，3，0)．
设q(x，y，z)，则．，∴
由，得：．
即：．对于平面amn：设其法向量为．
则．同理对于平面amn得其法向量为．
记所求二面角a—mn—q的平面角大小为，则．
所求二面角a—mn—q的平面角的余弦值为．
34.【2012高考真题重庆理19】（本小题满分12分如图，在直三棱柱中，ab=4，ac=bc=3，d为ab的中点。
ⅰ）求点c到平面的距离；
ⅱ）若求二面角的平面角的余弦值。
答案】命题立意】本题考查立体几何的相关知识，考查线面垂直关系、二面角的求法以及空间向量在立体几何中的应用。
35.【2012高考真题江西理20】（本题满分12分）
在三棱柱abc-a1b1c1中，已知ab=ac=aa1=，bc=4，在a1在底面abc的投影是线段bc的中点o。
1）证明在侧棱aa1上存在一点e，使得oe⊥平面bb1c1c，并求出ae的长；
2）求平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值。
36.【2012高考真题安徽理18】（本小题满分12分）
平面图形如图4所示，其中是矩形，，，现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。
ⅰ）证明求的长； （求二面角的余弦值。
答案】本题考查平面图形与空间图形的转化，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定。空间线段长度和空间角的余弦值的计算等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和求解能力。
解析】(综合法)
）取的中点为点，连接，则，面面面，同理：面得：共面，又面。
ⅱ）延长到，使，得：，面面面面，ⅲ）是二面角的平面角。
在中，在中，得：二面角的余弦值为。
37.【2012高考真题上海理19】（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，
底面，是的中点，已知，，，求：
1）三角形的面积；
2）异面直线与所成的角的大小。
答案】解析】（1）∵pa⊥底面abcd，∴pa⊥cd，又∵cd⊥ad，∴cd⊥平面pad，cd⊥pd，又∵，cd=2，△pcd的面积为。
2）解法一：取pb的中点f，连接ef,af,
则ef∥bc，∴∠aef(或其补角)是异面直线。
bc与ae所成的角。
在△adf中，ef=、af=,ae=2，△aef是等腰直角三角形，∠aef=，异面直线bc与ae所成的角大小为。
解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则b(2,0,0),c(2，,0),e(1，,1)， 1，,1)， 0, ,0),设与的夹角为，则，又∵0＜≤，
点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用。本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．
38.【2012高考真题全国卷理18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为菱形，pa⊥底面abcd，ac=2，pa=2，e是pc上的一点，pe=2ec.
ⅰ）证明：pc⊥平面bed；
ⅱ）设二面角a-pb-c为90°，求pd与平面pbc所成角的大小。
答案】39.【2012高考真题山东理18】（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面。
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