立体几何高考题理科

立体几何高考题汇编。

1、（08山东卷20)(本小题满分12分)

如图，已知四棱锥p-abcd，底面abcd为菱形，pa⊥平面abcd，,e，f分别是bc, pc的中点。

ⅰ）证明：ae⊥pd;

ⅱ）若h为pd上的动点，eh与平面pad所成最大角的正切值为，求二面角e—af—c的余弦值。

2.(2009山东卷理)（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd为等腰梯形，ab//cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分别是棱ad、aa、ab的中点。

1）证明：直线ee//平面fcc；

2）求二面角b-fc-c的余弦值。

3、（2010山东理数）（19）（本小题满分12分）

如图，在五棱锥p—abcde中，pa⊥平面abcde，ab∥cd，ac∥ed，ae∥bc， abc=45°，ab=2，bc=2ae=4，三角形pab是等腰三角形．

ⅰ）求证：平面pcd⊥平面pac；

ⅱ）求直线pb与平面pcd所成角的大小；

ⅲ）求四棱锥p—acde的体积．

4、（2011山东理数19）在如图所示的几何体中，四边形abcd为平行四边形，∠acb=，ｅ平面ａｂｃef

ⅰ）若ｍ是线段ａｄ的中点，求证：ｇｍ平面ａｂｆ

ⅱ）若求二面角ａ-ｂ的大小．

参***。1.证明：由四边形abcd为菱形，∠abc=60°，可得△abc为正三角形。

因为 e为bc的中点，所以ae⊥bc.

又 bc∥ad，因此ae⊥ad.

因为pa⊥平面abcd，ae平面abcd，所以pa⊥ae.

而 pa平面pad，ad平面pad 且pa∩ad=a，所以 ae⊥平面pad，又pd平面pad.

所以 ae⊥pd.

ⅱ）解：设ab=2，h为pd上任意一点，连接ah，eh.由（ⅰ）知 ae⊥平面pad，则∠eha为eh与平面pad所成的角在rt△eah中，ae=，所以当ah最短时，∠eha最大，即当ah⊥pd时，∠eha最大。

此时 tan∠eha=因此 ah=.又ad=2，所以∠adh=45°，所以 pa=2.因为 pa⊥平面abcd，pa平面pac，所以平面pac⊥平面abcd.

过e作eo⊥ac于o，则eo⊥平面pac，过o作os⊥af于s，连接es，则∠eso为二面角e-af-c的平面角，在rt△aoe中，eo=ae·sin30°=，ao=ae·cos30°=,又f是pc的中点，在rt△aso中，so=ao·sin45°=,又在rt△eso中，cos∠eso= 即所求二面角的余弦值为。

2：（1）在直四棱柱abcd-abcd中，取a1b1的中点f1，连接a1d，c1f1，cf1，因为ab=4, cd=2,且ab//cd，所以cda1f1，a1f1cd为平行四边形，所以cf1//a1d，又因为e、e分别是棱ad、aa的中点，所以ee1//a1d，所以cf1//ee1，又因为平面fcc，平面fcc，所以直线ee//平面fcc.

2）因为ab=4, bc=cd=2, 、f是棱ab的中点，所以bf=bc=cf,△bcf为正三角形，取cf的中点o,则ob⊥cf,又因为直四棱柱abcd-abcd中，cc1⊥平面abcd,所以cc1⊥bo,所以ob⊥平面cc1f,过o在平面cc1f内作op⊥c1f,垂足为p,连接bp,则∠opb为二面角b-fc-c的一个平面角，在△bcf为正三角形中，在rt△cc1f中， △opf∽△cc1f

在rt△opf中，所以二面角b-fc-c的余弦值为。

3. （由（ⅰ）知平面pcd⊥平面pac，所以在平面pac内，过点a作于h，则，又ab∥cd，ab平面内，所以ab平行于平面，所以点a到平面的距离等于点b到平面的距离，过点b作bo⊥平面于点o，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线pb与平面pcd所成角的大小为；

ⅲ）由（ⅰ）知，所以，又ac∥ed，所以四边形acde是直角梯形，又容易求得，ac=，所以四边形acde的面积为，所以四棱锥p—acde的体积为=。

4．由题意知，平面平面abcd，取ab的中点h，连接ch，因为ac=bc，所以，则平面abfe，过h向bf引垂线交bf于r，连接cr，则。

所以为二面角a—bf—c的平面角。由题意，不妨设ac=bc=2ae=2。

在直角梯形abfe中，连接fh，则，又所以因此在中，由于所以在中，因此二面角a—bf—c的大小为。

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