一、空间向量的基本概念与运算。
1．如图，在长方体中，ab=2，ad==1，m、n、p分别是bc、、的中点。
1）是记为。
2）可称为。
3）与是互为。
4）与是。5）与是。
6）、、这三个向量可称为。
2．判断下列条件下的a、b、c、d四点是否共面（o是空间中任一点）
3．（1）如图，在长方体中，设，，，e、f分别是ab、的中点，试用，，表示，。
2）如图，在三棱锥中，点g是的重心，设，，，用，，表示。
4．已知空间向量，，则。
3）若，则。
4），若，则。
答案：1．（1）零向量2）单位向量 （3）相反向量 （4）相等向量
5）共线向量（平行向量） （6）共面向量 （7） （8）
2．（1）共面 （2）不共面 （3）共面 （4）共面。
二、空间向量在立体几何中的应用。
1．证明直线与直线平行：只须证明直线的一个方向向量与直线的一个方向向量共线。
2．证明直线与平面平行：
方法一：在平面内找两个不共线的向量，证明这两个向量与直线的一个方向向量共面。
方法二：只须证明直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂直。
3．证明平面与平面平行：只须证明平面的一个法向量与平面的一个法向量共线。
4．证明直线与直线垂直：只须证明直线的一个方向向量与直线的一个方向向量垂直。
5．证明直线与平面垂直：只须证明直线的一个方向向量与平面的一个法向量共线。
6．证明平面与平面垂直：只须证明平面的一个法向量与平面的一个法向量垂直。
7．求异面直线所成的角：设两条异面直线的方向向量分别为和，则。
8．求直线与平面所成的角：设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则。
9．求平面与平面所成的角（二面角大小的求法类此）：设两个平面的法向量分别为和，则。
10．求点到平面的距离：设点是平面内任一点，是平面的一个法向量，则等于在上的射影长，即。
例1、如图，在单位正方体中，、分别是、的中点。
1）求证：平面。
2）求异面直线与所成的角（）
3）求直线与平面所成角的余弦值（）
4）求二面角大小的余弦值（）
5）求点到平面的距离（）
例2、在如图的多面体中，，，平面，，，是中点。
1）求证：
2）求二面角大小的余弦值（）
例3、如图，平面abcd平面abef，四边形abcd与abef都是直角梯形， bad=baf=，bcad，beaf。
1）求证：cedf
2）若ab=bc=be，求平面ace与平面def所成角的余弦值（）
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