第七章立体几何与空间向量。
第一节立体几何中的向量方法。
2019考纲考题考情。
1．两条异面直线所成角的求法。
设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝其中φ为异面直线a，b所成的角)。
2．直线和平面所成角的求法。
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝
3．求二面角的大小。
1)如图①，ab，cd是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈
2)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉。
一、常考题。
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )
a．45° b．135° c．45°或135° d．90°
2．在正方体abcd－a1b1c1d1中，e是c1d1的中点，则异面直线de与ac夹角的余弦值为( )
a．－ b．－ c． d．
3.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)abc－a1b1c1的底面边长为2，侧棱长为2，则ac1与侧面abb1a1所成的角为___
二、常错题。
微提醒：①异面直线所成角的取值范围出错；②二面角的取值范围出错；③直线和平面所成的角的取值范围出错。
4．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为___
5．已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－则l与α所成的角为___
6．在正方体abcd－a1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为___
考点一线线角、线面角的求法
例1】 (2018·江苏高考)如图，在正三棱柱abc－a1b1c1中，ab＝aa1＝2，点p，q分别为a1b1，bc的中点。
1)求异面直线bp与ac1所成角的余弦值； (2)求直线cc1与平面aqc1所成角的正弦值。
3) 求平面aqp与平面aqc1所成角的正弦值。
变式训练】 (2018·湖北八校4月联考)如图，四边形abcd与bdef均为菱形，fa＝fc，且∠dab＝∠dbf＝60°。
1)求证：ac⊥平面bdef； (2)求直线ad与平面abf所成角的正弦值。
考点二二面角的求法。
例2】 (2018·全国卷ⅲ)如图，边长为2的正方形abcd所在的平面与半圆弧所在平面垂直，m是上异于c，d的点。
1)证明：平面amd⊥平面bmc；
2)当三棱锥m－abc体积最大时，求面mab与面mcd所成二面角的正弦值。
利用空间向量计算二面角大小的常用方法。
1．找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小。
2．找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小。
变式训练】 (2019·广东六校联考)如图，在四棱锥p－abcd中，abcd是平行四边形，ab＝bc＝1，∠bad＝120°，pb＝pc＝，pa＝2，e，f分别是ad，pd的中点。
1)证明：平面efc⊥平面pbc；
2)求二面角a－bc－p的余弦值。
变式训练】 (2018·全国卷ⅱ)如图，在三棱锥p－abc中，ab＝bc＝2，pa＝pb＝pc＝ac＝4，o为ac的中点。
1)证明：po⊥平面abc；
2)若点m在棱bc上，且二面角m－pa－c为30°，求pc与平面pam所成角的正弦值。
基础过关组。
1．(2019·合肥市质量检测)如图，在多面体abcdef中，四边形abcd是正方形，bf⊥平面abcd，de⊥平面abcd，bf＝de，m为棱ae的中点。
1)求证：平面bdm∥平面efc；
2)若de＝2ab，求直线ae与平面bdm所成角的正弦值。
2.如图，在直四棱柱abcd－a1b1c1d1中，底面abcd为等腰梯形，ab∥cd，ab＝4，bc＝cd＝2，aa1＝2，e，f，g分别是棱a1b1，ab，a1d1的中点。
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