2013立体几何常考大题。
1．如图，棱柱abcd—a1b1c1d1的底面abcd是边长为2的菱形，，，侧棱，棱aa1与底面所成的角为，点f为dc1的中点。
i)证明：of//平面；
ii)求三棱锥的体积。
2．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．
1) 求证：；
2) 当面积的最小值是9时，证明平面．
3．如图，在四棱锥p-abcd的底面是边长为2的正方形，pd⊥平面abcd，e、f分别是pb、ad的中点，pd=2．
1）求证：bc⊥pc；
2）求证：ef//平面pdc；
3）求三棱锥b—aef的体积。
4．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，m是bd的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。
（ⅰ）求该几何体的体积；
（ⅱ）求证：em∥平面abc；
5．如图，ac 是圆 o 的直径，点 b 在圆 o 上，，交 ac 于点 m，平面，，ac＝4，ea＝3，fc＝1．
i）证明：em⊥bf；
ii）求平面 bef 与平面abc 所成的二面角的余弦值．
6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，
求证：；2)设点在棱上，，若∥平面，求的值。
为的中点。ⅰ）求证： 平面；
ⅱ）求点到面的距离．
9．在三棱锥p－abc中，△pac和△pbc都是边长为的等边三角形，ab＝2，o，d分别是ab，pb的中点．
1)求证：od∥平面pac；
2)求证：po⊥平面abc；
3)求三棱锥p－abc的体积．
11如图所示，三棱柱中，平面平面，又，与相交于点。
ⅰ)求证：平面；
ⅱ)求与平面所成角的正弦值；
12.如图所示，直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直，为的中。
点，，∥ⅰ）求证：平面平面；**。
ⅱ）求证：∥平面；
ⅲ）求四面体的体积。
13．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，m是bd的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。
（ⅰ）求该几何体的体积；
（ⅱ）求证：em∥平面abc；
15．如图所示，四棱锥p-abcd,底面abcd是边长为2的正方形，pa⊥面abcd，pa=2,过点a作ae⊥pb,af⊥pc,连接ef．
（1）求证：pc⊥面aef；
（2）若面aef交侧棱pd于点g（图中未标出点g）,求多面体p—aefg的体积。
16.如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．
1）证明：平面；
2）求三棱锥的体积；
3）在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长．
17.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面⊥平面，分别是的中点．
i）求平面平面；
ii）若是线段上一点，求三棱锥的体积．
18.如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，ⅰ）求证：平面；
ⅱ）设点为中点，求二面角的余弦值．
19.如图，fd垂直于矩形abcd所在平面，ce//df，．
ⅰ）求证：be//平面adf；
ⅱ）若矩形abcd的一个边ab =，ef =，则另一边bc的长为何值时，三棱锥f-bde的体积为？
21. 已知正四棱锥p－abcd中，底面是边长为2的正方形，高为．m为线段pc的中点．
ⅰ) 求证：pa∥平面mdb；
ⅱ) n为ap的中点，求cn与平面mbd所成角的正切值．
22．如图，已知直四棱柱，底面为菱形，为线段的中点，为线段的中点。
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）当的比值为多少时，平面，并说明理由．
23.如图，棱柱abc－a1b1c1的侧面bcc1b1是菱形，b1c⊥a1b.
1)证明：平面ab1c⊥平面a1bc1；
2)设d是a1c1上的点，且a1b∥平面b1cd，求a1d∶dc1的值．
24.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。
1）求证：；
2）当面积的最小值是9时，**段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由。
25.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。
1）求证：；
2）当面积的最小值是9时，**段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由。
如图：在矩形abcd中，ab＝5，bc＝3，沿对角线bd把△abd折起，使a移到a1点，过点a1作a1o⊥平面bcd，垂足o恰好落在cd上。
1)求证：bc⊥a1d；
2)求直线a1b与平面bcd所成角的正弦值。
27．如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点．
1）求证：平面；
2）求证：平面平面。
28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．
1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；
2)证明：a1c⊥平面ab1c1；
3)若d是棱cc1的中点，在棱ab上取中点e，判断de是否平行于平面ab1c1，并证明你的结论．
29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．
1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；
2)证明：a1c⊥平面ab1c1；
3)若d是棱cc1的中点，在棱ab上取中点e，判断de是否平行于平面ab1c1，并证明你的结论．
30.如图，已知矩形的边与正方形所在平面垂直，，，是线段的中点。
1)求异面直线与直线所成的角的大小；
2)求多面体的表面积。
31.如图，四棱锥p-abcd中，pa⊥底面abcd，ab⊥ad，点e**段ad上，且ce∥ab。
1）求证：ce⊥平面pad；
2）若pa=ab=1，ad=3，cd=，∠cda=45°，求四棱锥p-abcd的体积。
32.如下图（图1）等腰梯形pbcd，a为pd上一点，且ab⊥pd，ab=bc，ad=2bc，沿着ab折叠使得二面角p-ab-d为的二面角，连结pc、pd，在ad上取一点e使得3ae=ed，连结pe得到如下图（图2）的一个几何体．
（1）求证：平面pab平面pcd；
（2）求pe与平面pbc所成角的正弦值．
33.如图，在直三棱柱中， 90°, 是的中点。
ⅰ）求异面直线与所成的角；
ⅱ）若为上一点，且，求二面角的大小。
解法一：（ⅰ）异面直线与所成的角为6分。
所求二面角为。
34.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。
1）求证：；
2）当面积的最小值是9时，**段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由。
35.如图，pa⊥平面abcd，abcd是矩。
形，pa=ab=1，,点f是pb的中点，点e在边bc
上移动。求三棱锥e-pad的体积；
当e点为bc的中点时，试判断ef与平面pac的。
位置关系，并说明理由；
证明：无论点e在边bc的何处，都有pe⊥af。
36．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥p - abcd中，平面pad上平面abcd，ab∥dc，△pad是等边三角形，已知bd =2ad =8，ab =2dc =。
（i）设m是pc上的一点，证明：平面mbd平面pad；
（ⅱ）求三棱锥c—pab的体积。
答案。1．如图，棱柱abcd—a1b1c1d1的底面abcd是边长为2的菱形，，，侧棱，棱aa1与底面所成的角为，点f为dc1的中点。
i)证明：of//平面；
ii)求三棱锥的体积。
解：（i）四边形abcd为菱形且，是的中点2分。
又点f为的中点， 在中4分。
平面，平面 , 平面6分。
ii）四边形abcd为菱形， 又，且平面 ,平面，
平面。平面平面8分
在平面内过作，则，是与底面所成的角10分。
在， 故三棱锥底面上的高为，又，所以，三棱锥的体积 .
2．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．
1) 求证：；
2) 当面积的最小值是9时，证明平面．
解：（1）证明：连接，设与相交于点。 因为四边形是菱形，所以。 又因为平面，平面。
为上任意一点，平面，所以7分。
2）连．由（i），知平面，平面，所以．
在面积最小时，最小，则．
解得10分。
由且得平面则，又由得，而，故平面--
3．如图，在四棱锥p-abcd的底面是边长为2的正方形，pd⊥平面abcd，e、f分别是pb、ad的中点，pd=2．
1）求证：bc⊥pc；
2）求证：ef//平面pdc；
3）求三棱锥b—aef的体积。
解证：（ⅰ四边形abcd是正方形。
∴bcdc又pd面abcd, bc面abcd
bcpd, 又pddc=d
bc面pdc 从而bcpc分。
ⅱ）取pc的中点g，连结eg，gd，则。
∴四边形efgd是平行四边形。 ∴ef//gd,
又 ∴ef//平面pdc分。
ⅲ）取bd中点o，连接eo，则ｅo//pd，∵pd⊥平面abcd， ∴eo⊥底面abcd，
12分。4．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，m是bd的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。
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