华南师范大学数学科学学院何小亚。
一。原题快览。
理科18.（本小题满分13分）
如图5，在锥体p-abcd中，abcd是边长为1的菱形，且∠dab=60°，pa=pd=，pb=2，e,f分别是bc，pc的中点．
1）证明：ad⊥平面def；
2）求二面角p-ad-b的余弦值．
文科18．（本小题满分13分）
图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．，分别为，的中点，，，分别为，的中点．
1）证明：，，四点共面；
2）设为中点，延长到，使得，证明：平面．
二。考点分析。
1.考查的知识点。
理科：等腰三角形、等边三角形、菱形的性质；勾股定理；余弦定理；中位线定理；三角形的中线长公式；线线平行、线线垂直；线面垂直；面面平行；二面角的概念与计算；空间直角坐标系；点与向量的坐标；向量的垂直、平行、数量积；法向量。
文科：圆的性质；三角形全等的判定；直角三角形的性质；平行四边形的性质；线线平行、线线垂直；线面垂直；
2.考查的能力。
理科和文科的共性：所涉及知识点的概念理解、原理应用能力；逻辑推理能力；基本运算能力；化归的数学思想。
理科和文科的差异：知识点理科比文科多；运算能力理科要求高于文科；空间图形的想象能力文科高于理科，因为理科的图形比较直观，只需要一点空间图形的立体感知力即可，而文科的图形背景复杂，线线关系、线面关系不直观，比较抽象，容易误导学生的思维。
三。解法分析。
理科：几何法。关键是取ad的中点g，连结pg，bg。
向量法：以d为原点， 的方向分别为x轴，y轴的正向，建立。
空间直角坐标系。关键是设p（），由可得 p（），再由中点坐标公式可得f（），文科证法1（标准答案）：
1）∵，分别为弧与弧的中点，∴．连接，直线是由直线平移得到， ，四点共面．
2）将延长至，使得，连接，，，由平移性质得，∴．
．∴．平面．又平面，∴．
． ∵平面．
证法2（坐标法）：
以点为原点，、所在的。
直线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则点，，，的坐标分别为，1）∵，四点共面．
2）点，，，的坐标分别为，，，于是，而，所以，平面．
四。错误分析。
理科：1.在用纯几何法时，未经证明ad⊥df而使用了这一结论；
2.在用坐标法时，未经证明ad⊥df而设点f的坐标为（0,0，h）；
3. 在用坐标法时，考生求不出点p的坐标（要用待定系数法，通过， 列方程求解）.
文科：1.由、、、b分别是、、de、的中点，直接得到；
2.只证明了，就说平面；
3. 数学上所说的平移，一定是某一平面到自身的一一变换。初中只讲了平面图形的直观平移，不讲严格的平移变换。
课改前高中修订本教材介绍了点按向量平移。高中新课程在必修、文理限选模块中没有平移变换，考纲中也没有平移变换。
题目中所说的“平移”是对平面而言的。证法2中的“∵直线是由直线平移得到，”这句话中的平移却是对平面而言，即此“平移”非彼“平移”；而“由平移性质得”中的平移是对平面而言的。由此可见，这两个证明的理由不充分。
五。试题分析。
理科：1.第（1）问偏难，第（2）问属于中档题，缺少简单容易的送分部分，脱离了广大中下层考生的实际情况；
2.第（1）问难与第（2）问较易的顺序设置不合理，绝大多数考生被第（1）问难住，不仅影响了本题的得分率，而且对全卷产生了较大的影响，这是平均分大幅度下降的原因之一；
3.第（1）问和第（2）问的解答均依赖于同样的且不易想到的条件“取ad的中点”，这就导致入口窄，考点少，缺少区分度。
4. 本题类似于2024年全国卷理科试题。
如图，已知四棱锥p－abcd，pb⊥ad，侧面pad为边长为2的正三角形，底。
面abcd为菱形，侧面pad与平面abcd
所成的二面角为120°.
1）求点p到平面abcd的距离；
2）求面apb与面cpb所成的二面角的大小。
文科：1. 在数学上没有什么“直圆柱”与“斜圆柱”的概念，棱柱才有“直”与“斜”之分；在数学中也没有“切面”这个概念，只有轴截面、截面的概念。
2. 在数学中，没有“水平平移”（“斜平移”）这一说法，更不存在“几何体的平移”这一概念，只有平面到自身的平移变换：①它是一一变换；
它有一个平移方向；③若与是一对对应点，则。
3.“将其中一半沿切面向右水平平移后”得到什么？“得到了图5所示的几何体”！请问它是什么几何体？为什么不在题目中明确指出点共线且点。
均在同一平面上。
4.本题不适合作为数学证明题。
bell（1978）将证明分为实用性证明与理性证明。实用性证明以个人的经验、权威的认可、观察到的实例、举不出反例、结论的有效性作为依据，它依赖于事实。而理性证明则以逻辑推理论证为依据，它是思想实验，不依赖事实。
数学证明就是一种理性证明，它可用一个反例来反驳。
使用直圆柱、几何体平移、水平平移、切面这些非数学的形式作为证明的基础前提，这还是数学证明吗？这就是标准答案说不清楚的真正原因。一个连标准答案都证明不清楚的问题，怎么可以拿来考学生呢？
5.本题难度超过了理科题。
与理科题比较，图形复杂，字母多达高考题中前所未有的17个。第（2）问要证明平面，可以先证明平面，再推出。而（或）则比较难！
因为受图形的限制，学生难以发现与全等。对于文科生，这太抽象了！
6.导向不好。
与纯几何法相比，坐标法即证法2思维难度降低，用证法2的考生大占便宜，这无形会导致文科班也讲大纲中没有要求的空间向量法。
六。前五年广东高考数学卷的立体几何试题回顾。
2024年的立几题17、(本题14分)如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.
)求二面角的大小；
)求直线与所成的角。
2024年的立几题 19．(本小题满分14分)
如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于、的动点。点在边上，且。现沿将折起到的位置，使。记，表示四棱锥的体积。
1)求的表达式；
2)当为何值时，取得最大值？
3) 当取得最大值时，求异面直线与。
所成角的余弦值。
2024年的立体几何题。
文科18.（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥p-abcd的底面abcd是。
半径为r的圆的内接四边形，其中bd是圆的。
直径，∠abd=60°,∠bdc=45°,△adp～△bad.
1)求线段pd的长；
2)若pc=r，求三棱锥p-abc的体积。
理科20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
1）求与平面所成角的正弦值；
2）证明：是直角三角形；
3）当时，求的面积．
08年的文科、理科立体几何题也存在性质类似于今年的问题：在数学中，相似三角形一定要指出对应点，否则答案就不唯一；最难的被设置为第1问，简单的却被设置为第问。
2024年的立体几何题：文科17．（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
2）求该安全标识墩的体积；
3）证明：直线平面。
理科18．（本小题满分１４分）
如图６，已知正方体的棱长为２，点ｅ是正方形的中心，点ｆ、ｇ分别是棱的中点．设点分别是点ｅ、ｇ在平面内的正投影．
１）求以ｅ为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
２）证明：直线；
３）求异面直线所成角的正弦值。
2024年的立体几何题：
文科18题（本小题满分14分)
如图4，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，．
1） 证明：；
2） 求点到平面的距离．
理科18题（本小题满分14分）
如图5，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，.
1）证明：；
2）已知点分别为线段上的点，使得求平面与平面所成二面角的正弦值。
七．何去何从？
广东高考今年的立体几何大题，无论是理科还是文科，由于其难度、科学性、命题技术等方面的原因，对数学卷的平均分产生了较大影响，大家感到无所适从，不知道来年如何备考。我认为，大家不必悲观，这应该只是一次意外。我相信各方人士一定会吸取教训，总结经验，使得高考回到其应有的正确导向上来——回归基础，回归中学，回归课改，以大多数学生为准，体现人文关怀。
抓基本概念的理解，抓基本原理的运用，抓数学问题解决仍然是中学数学教学不变的方向！
2024年的广东高考立体几何大题应回归年的考查方向！
立体几何高考大题
1 2009浙江文 如图，平面，分别。为的中点 i 证明 平面 ii 求与平面所成角的正弦值 2009四川文 如图，正方形abcd所在平面与平面四边形abef所在平面互相垂直，abe是等腰直角三角形，ab ae,fa fe,aef 45 求证 ef 平面bce 设线段cd ae的中点分别为p m，求...
高考立体几何大题
高考数学立体几何大题。1 2014 辽宁 如图15所示，abc和 bcd所在平面互相垂直，且ab bc bd 2，abc dbc 120 e，f分别为ac，dc的中点 1 求证 ef bc 2 求二面角ebfc的正弦值 2 2013辽宁 本小题满分12分 如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，...
2024年广东高考立体几何大题分析g
华南师范大学数学科学学院何小亚。一。原题快览。理科18.本小题满分13分 如图5，在锥体p abcd中，abcd是边长为1的菱形，且 dab 60 pa pd pb 2，e,f分别是bc，pc的中点 1 证明 ad 平面def 2 求二面角p ad b的余弦值 文科18 本小题满分13分 图5所示的...