一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．空间四个点o、a、b、c，，，为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( b )
a．o、a、b、c四点不共线b．o、a、b、c四点共面，但不共线。
c．o、a、b、c四点中任意三点不共线d．o、a、b、c四点不共面。
2．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉等于( b )
a．30° b．60° c．90° d．45°
3．已知a(2，－5,1)，b(2，－2,4)，c(1，－4,1)，则向量与的夹角为( c )
a．30° b．45° c．60° d．90°
4．已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝4,2,0)，＝1,2，－1)．对于结论：①ap⊥ab；②ap⊥ad；③是平面abcd的法向量；④∥其中正确的个数是( c )
a．1 b．2 c．3 d．4
5．以下命题中，不正确的个数为( c )
|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
a．2 b．3 c．4 d．5
6．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( d )
a．cosb．cos θ＝c．sind．sin θ＝
7．若两点a(x,5－x,2x－1)，b(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值等于( c )
a．19bcd.
8.如图所示，在四面体p—abc中，pc⊥平面abc，ab＝bc＝ca＝pc，那么二面角b—ap—c的余弦值为( c )
abcd.
9.如图所示，在直二面角d—ab—e中，四边形abcd是边长为2的正方形，△aeb是等腰直角三角形，其中∠aeb＝90°，则点d到平面ace的距离为( b )
ab. cd．2
10．已知＝(1,2,3)，＝2,1,2)，＝1,1,2)，点q在直线op上运动，则当·取得最小值时，点q的坐标为( c )
abcd.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b
12．如图所示，已知正四面体abcd中，ae＝ab，cf＝cd，则直线de和bf所成角的余弦值为___
13．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为___或___
14.如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ，ab⊥bc，bc⊥cd，ab在平面β内，bc在l上，cd在平面α内，若ab＝bc＝cd＝1，则ad的长为___
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
15．(12分)如图，在长方体abcd—a1b1c1d1中，e、f分别是棱bc，cc1上的点，cf＝ab＝2ce，ab∶ad∶aa1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线ef与a1d所成角的余弦值；
2)证明af⊥平面a1ed；
3)求二面角a1—ed—f的正弦值．
15．(1)解
如图所示，建立空间直角坐标系，点a为坐标原点．设ab＝1，依题意得d(0,2,0)，f(1,2,1)，a1(0,0,4)，e.
易得＝，(0,2，－4)，于是cos〈，〉
所以异面直线ef与a1d所成角的余弦值为。
2)证明易知＝(1,2,1)，，于是·＝0，·＝0.
因此，af⊥ea1，af⊥ed.
又ea1∩ed＝e，所以af⊥平面a1ed.
3)设平面efd的法向量u＝(x，y，z)，则即。
不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，由(2)可知，为平面a1ed的一个法向量，于是cos〈u，〉＝从而sin〈u，〉＝
所以二面角a1—ed—f的正弦值为。
16．(12分)如图，四棱锥s—abcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点．
1)求证：ac⊥sd；
2)若sd⊥平面pac，求二面角p—ac—d的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱sc上是否存在一点e，使得be∥平面pac.若存在，求se∶ec的值；若不存在，试说明理由．
16．(1)证明连结bd，设ac交bd于点o，由题意知so⊥平面abcd，以o点为坐标原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz如图所示．
设底面边长为a，则高so＝a.
于是s(0,0， a)，d，c，b，·＝0.
oc⊥sd，即ac⊥sd.
2)解由题意知，平面pac的一个法向量＝，平面dac的一个法向量，设所求二面角为θ，则cos θ＝故所求二面角p—ac—d的大小为30°.
3)解在棱sc上存在一点e使be∥平面pac.
由(2)知是平面pac的一个法向量，且＝，＝设＝t，则＝＋＝t
由·＝0，得t＝，即当se∶ec＝2∶1时，⊥
而be不在平面pac内，故be∥平面pac.
17.如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点，分别在棱，bc上。
1）若p是的中点，证明：；
2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积。
17.解法1：由题设知，两两垂直。
以a为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为，d(0，6，0), 0，3，6),q(6，m，0)，其中m=bq,
1）若p是的中点，则p（0, ，3），=3,0 ,6)，于是=18-18=0，所以，即；
2）由题设知， =6，m-6,0), 0,-3,6)是平面pqd内的两个不共线向量。
设=（x，y，z）是平面pqd的一个法向量，则，即，取y=6，得=（6-m，6,3）.又平面aqd的一个法向量是=（0，0，1），所以。
cos<,>而二面角p-qd-a的余弦值为，因此。解得m=4，或m=8(舍去)，此时q（6,4,0）
设而，由此得点，所以因为pq//平面，且平面的一个法向量是，所以，即3-2=0，亦即，从而p（0,4,4），于是，将四面体adpq视为△adq为底面的三菱锥p-adq,则其高=4,故四面体adpq的体积。
解法二 （ⅰ如图c，取的中点r，连结pr,br,因为，是梯形的两腰，p是的中点，所以pr//ad，于是由ad//bc知，pr//bc,所以p,r,b,c四点共面。
由题设知，bcab,bc,所以bc平面，因此bc
因为tan===tan,所以tan=tan，因此。
=，于是br，再由即知平面prbc，又pq平面prbc，故pq.
ⅱ）如图d，过点p作pm//交ad于点m，则pm//平面。
因为平面abcd，所以om平面abcd,过点m作mnqd于点n，连结pn，则pnqd，为二面角p-qd-a的平面角，所以cos=，即=,从而。
连结mq，由pq//平面，所以mq//ab，又abcd是正方形，所以abqm为矩形，故mq=ab=6.
设md=t，则 mn==.过点作交ad于点e，则为矩形，所以==6，ae==3，因此ed=ad-ae=3，于是，所以pm=2md=2t，再由得=，解得t=2，因此pm=4.故四面体adpq的体积
18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，
1）求证：平面；
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