创新题。
1.已知直线与曲线：交于两点，的中点为，若直线和(为坐标原点)的斜率都存在，则。这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.
1）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；（2）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：
过点作直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹的方程；
过点作直线与有心圆锥曲线交于两点，是否存在这样的直线使点为线段的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由。
解：（1）证明设。
相减得注意到
有即 2）①设由垂径定理，即化简得当与轴平行时，的坐标也满足方程。
故所求的中点的轨迹的方程为；
假设过点p(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点，且p为的中点，则由于
直线，即，代入曲线的方程得。
即由得。故当时，存在这样的直线，其直线方程为；当时，这样的直线不存在。
2.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆c：的右准线l上任意一点m引椭圆c的两条切线，切点为 a、b.
1）求证：直线ab恒过一定点；（2）当点m在的纵坐标为1时，求△abm的面积。
解：（1）设m
点m在ma上∴ ①同理可得②
由①②知ab的方程为。
易知右焦点f（）满足③式，故ab恒过椭圆c的右焦点f（）
2）把ab的方程。
又m到ab的距离。
△abm的面积。
3.记平面内动点到两条相交于原点的直线的距离分别为研究满足下列条件下动点的轨迹方程．
1）已知直线的方程为：，a）若，指出方程所表示曲线的形状；
b）若，求方程所表示的曲线所围成区域的面积；
c）若，研究方程所表示曲线的性质，写出3个结论．
2）若，试用表示常数d及直线的方程，使得动点的轨迹方程恰为椭圆的标准方程（）．
解：（1）（a）
b） 方程所表示的曲线所围成区域为正方形面积为．
c）， 范围：；对称性：关于和原点对称；渐近线为：
2）设直线的方程为：（）则由得 ，令，即得椭圆的标准方程（）．
4.若椭圆：和椭圆： 满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比。（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程。
2）设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于a、b两点（其中点a**段ob上），求的最大值和最小值。
解：（1）设所求的椭圆方程为，则有解得。
所要求的椭圆方程为
2）①当射线与轴重合时，=
当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察a、b在第一象限的情形。
设其方程为（），设，由解得
由解得 令则由知。
记，则在上是增函数，∴，由①②知，的最大值为，的最小值为。
5.设，，为直角坐标系中的单位向量，，，
1）求动点的轨迹c的方程；
2）过点作直线与曲线交于a、b两点，若，是否存在直线使得为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵，动点到定点、的距离之和为8 ∴曲线c的轨迹方裎为。
2)直线过，若是轴，则a、b是椭圆的顶点。∵
与重合，与为矩形矛盾。 ∴直线的斜率存在．
设：，，由得。
恒成立．∴由韦达定理得。
是平行四边形． 若存在，使它为矩形，则即，即。
，所求直线的方程为。
圆锥曲线解答题
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