【本讲主要内容】
二次函数综合。
包括一些较为复杂的二次函数，及应用二次函数解一些实际问题。
知识掌握】知识点精析】
1. 有关二次方程与其他知识综合的题目。
2. 应用二次函数求解一些简单的实际问题。
解题方法指导】
例1. 已知二次函数图象的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求该二次函数的解析式。
分析：由于给出了抛物线的顶点坐标，因此可用“顶点式”列出解析式，然后求解；还可以求出抛物线与x轴两交点的坐标，然后利用一般式求解。方法较多，可选择不同的方法。
解法一：∵抛物线的顶点坐标为（3，－2）
∴可设二次函数的解析式为。
∵抛物线与x轴两交点间的距离为4，对称轴为x＝3
∴抛物线与x轴的两个交点为（1，0），（5，0）
将点（1，0）的坐标代入，得。
∴4a＝2∴二次函数的解析式为：
即。解法二：由以上分析，可知抛物线与x轴交点为（1，0），（5，0）
∴可设二次函数解析式为。
将（3，－2）点的坐标代入，得。
∴二次函数的解析式为：
即。解法三：∵抛物线过（3，－2），（1，0），（5，0）三点。
∴设二次函数解析式为。
将三点的坐标代入，得。
解得。∴二次函数的解析式为。
解法四：设二次函数的解析式为。
由题意，得
将代入，得
将c＝5a代入①，得。
∵不合所设，舍去。
∴二次函数的解析式为。
评析：此题一题多解，考查了列函数解析式的能力及解方程组的能力。
例2. （2023年兰州市）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数。
的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小。这样的二次函数的解析式可以是。
分析：此题条件不多，但给出的形式比较新颖，要能够理解题意。由条件①，可知a<0，由条件②，应能解读出x＝2是对称轴，于是可赋值求出二次函数的解析式，答案不唯一。
解：∵抛物线开口向下。
∴a<0
不妨设。∵当x<2时，y随x的增大而增大；
当x>2时，y随x的增大而减小。
∴抛物线的对称轴为x＝2
设c＝2∴二次函数的解析式为。
即。答案不唯一。
评析：此题只要抓住a<0，对称轴为x＝2即可，便可给a赋值，b也可求出，c可任意选定。
考点突破】考点指要】
二次函数是一种十分重要的函数，它的应用很广泛，而且综合运用知识的能力可随时加以体现，正因为如此，在中考的选拔功能的试题中大量出现，而且题目变化很多，精彩纷呈，应引起我们的高度重视。解决此类问题的关键是熟悉二次函数解析式的几种不同设法，以及抛物线的有关性质，a、b、c的涵义；同时还要把实际问题读懂，涵义搞明白，使它能够转化为求二次函数解析式的条件。
典型例题分析】
例1. （2023年江西）一条抛物线经过点（0，）与（4，）。
（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）现有一半径为1，圆心p在抛物线上运动的动圆，当⊙p与坐标轴相切时，求圆心p的坐标。
友情提示：抛物线的顶点坐标是。
分析：（1）条件中给出的二次函数的解析式只含有两个字母，又知它过两点，则可求出m、n的值，求出顶点坐标；
（2）需画一个草图，弄清题意，因没有给出动圆与哪条坐标轴相切，应分为与y轴相切，或与x轴相切两种情况分类讨论。
解：（1）∵抛物线经过（0，），4，）两点，代入。
即 ∴∴二次函数的解析式为。
∴抛物线的顶点坐标为（2，）
（2）设点p的坐标为（）
当⊙p与y轴相切时，有。当。当。
∴此时点p的坐标为。
当⊙p与x轴相切时，有。
∵抛物线开口向上，顶点在x轴上方，∴取。
由，得。即。
此时点p的坐标为。
综上所述，圆心p的坐标为：
评析：由圆与坐标轴相切，应分为与x轴相切，与y轴相切两种情况，不要漏解。
例2. （2023年兰州）如图所示，有一座抛物线形状拱桥，桥下面在正常水位ab时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线cd，这时水面宽度为10m。
（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
分析：由题意，可设抛物线的解析式为。设d点坐标为（5，b），求出b点坐标，代入解析式求出a、b。
解：（1）设抛物线的解析式为。
设d点坐标为（5，b）
则b点坐标为（10，）
将二点坐标代入，得。
∴抛物线的解析式为。
∴（小时）即再持续5小时到达拱桥顶。
评析：此题是一道实际问题，关键是找出抛物线上两点的坐标，再根据实际背景去设，去求。
例3. （2023年四川南充市）如图，直线与x轴，y轴分别交于a、b两点，把△oab绕点o顺时针旋转90°，得到△ocd。
（1）求经过a、b、d三点的抛物线的解析式；
（2）在所求抛物线上是否存在点p，使得直线cp把△ocd分成面积相等的两部分？如果存在，求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由。
分析：（1）a、b两点坐标易求，求出c、d两点坐标，求解析式。
（2）若直线cp将△ocd分成面积相等的两部分，则它必过od中点e，则直线ce的解析式可求，求出p点坐标。
解：（1）由已知条件可知：
a（－2，0），b（0，4），c（0，2），d（4，0）
设经过a、b、d三点的抛物线为。
则解得。∴抛物线的解析式为。
（2）若存在满足条件的点p，则直线cp必过od中点e（2，0）
可求过c（0，2）、e（2，0）的直线为。
设点p的坐标为（m，）
将，得。∴满足条件的点p有两个：
评析：此题是把直线与抛物线结合在一起的题目，而且又把三角形的面积平分，于是可推知过边的中点，这些隐含的条件都是解题的关键。因此在解综合题时，认真分析条件中的隐含性质是十分重要的。
综合测试】1. 已知二次函数，其中m为常数，且满足，试判断抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴交点在x轴上方，还是在x轴下方。
2. 抛物线与x轴交于点a（－3，0），对称轴，顶点c到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式。
3. 已知二次函数的图象与的图象的形状相同，开口方向相反，与直线的两个交点坐标为（1，n）和（m，1）。求该二次函数的解析式及顶点坐标。
4. 一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应的地面上的点10米。铅球运行中最高点离地面3米。已知铅球走过的路线是抛物线，求这个抛物线的解析式。
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1. 开口向下，与x轴有两个交点，与y轴交点在x轴上方。解：∵
∴抛物线开口向下。
又。∴抛物线与y轴交点在x轴上方。
令y＝0，得。
∴抛物线与x轴有两个不同的交点。
解： ∴所求解析式为。
又解：∵对称轴为，顶点c到x轴的距离为2
∴顶点坐标为（－1，2）或（－1，－2）
设。∵过点a（－3，0）
解：∵的图象与的图象形状相同，开口方向相反。
∵（1，n），（m，1）在上。
∵点（1，－1），（3，1）在抛物线上。
∴二次函数解析式为。
∴顶点坐标为（1，－1）
解：设抛物线的解析式为。
将（0，）和（10，0）代入，得。
由①，得，代入②，得。
解得。当时，抛物线最高点（20，0）不在运动员和铅球落地点之间，不合题意，舍去。
当h＝4时，即。
评析：先将实际问题转化为一个数字问题，再用函数知识来解答，最后再还原成实际问题，注意各个量的实际意义。
初三数学二次函数知识精讲
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初三数学二次函数 2 精培
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