一、二次函数的概念。
1.定义：把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，关于定义的几点注意：
1）a≠0,但b,c可以等于0 （2）x的最高次数是2次。
3）式子是整式，分母不含有未知数，根号里不含有未知数。 （4）只有两个未知数变量x,y
例1．下列函数中，哪些是二次函数？
2.函数y=ax+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1) 它是二次函数。
2) 它是一次函数3) 它是正比例函数。
例2：若函数为二次函数，则m的值为 。
习题：如果函数是二次函数，则k的值是___
习题：函数， 当___时， 它是一次函数； 当___时， 它是二次函数。
习题：若二次函数的图象经过原点，则m
例3：m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？若是一次函数呢？能否是正比例函数。
习题：已知y=，1）k为何值时，原函数为二次函数。（2）k为何值时，原函数为一次函数？
例4：已知二次函数，当时，y=9，当x=1时，y=3，当x=4时，y=9，求这个函数的解析式。
习题：已知抛物线过三点，求二次函数解析式。
例5：正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积s（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；（2）写出x的取值范围。
3)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积。
习题：某村拟建一个温室，如果温室外围是一个矩形，周长为120m , 种植区域离温室外围四周各1m，设温室外围一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)
1）写出y与x的关系式，并化为一般形式。（2）写出x的取值范围。（3）求x为45m时，种植面积多大。
二、二次函数的图像平移。
例6：结合图像完成以下填空。
1）函数的开口方向对称轴顶点坐标。
函数的开口方向对称轴顶点坐标。
2）把抛物线y=x2的图象向平移个单位，就得到抛物线y=x2+1 的图象，把抛物线y=x2的图象向平移个单位就得到y=x2－1的图象。
它们的位置是由决定的。
3）函数y＝2(x1)2的图象，可以看作是函数y＝2x2的图象向平移个单位得到的。
4）函数y＝2(x1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向平移个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向平移个单位再向平移个单位得到的；对称轴是顶点坐标是。
由上述平移过程可以发现，1．二次函数y＝a(x－h)2的图象可以看作是把函数y=ax的图象沿x轴整体平移个单位(当h>0时，向平移；当h<0时，向平移)。
2．二次函数y=a(x－h)2＋k 的图象可以看作是把函数y=ax的图象先沿x轴整体平移个单位(当h>0时，向平移；当h<0时，向平移)，再沿对称轴整体平移个单位 (当k>0时向平移；当k<0时，向平移)得到的。
总结：抛物线平移的规律：左加右减、上加下减。
例7：完成下列填空。
1）把抛物线向左平移5个单位，再向下平移7个单位所得的抛物线解析式是
2）一个二次函数的图象与抛物线形状相同，且顶点为，那么这个函数的解析式是。
习题：1）抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为。
2）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。
3）将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为。
补充内容：思考：经过平移后会有什么样的变化呢？
1）将函数左移m个单位，得到函数。
将函数右移m个单位，得到函数。
2）将函数上移n个单位，得到函数。
将函数下移n个单位，得到函数。
例8：（1）将抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到。
则abc2）将抛物线y=2x2－4x+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数关系式是。
习题：把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，则原抛物线解析式为。
三、二次函数顶点式的性质。
一般的，将y=a(x－h)2＋k 称为二次函数的顶点式。
1．结合上述二次函数的图像，总结函数y=ax2的图象的性质：
1）函数y=ax2的图象是一条___它关于___对称，它的顶点坐标是___
2）当a>0时，抛物线y=ax2开口在对称轴的左边，曲线自左向右在对称轴的右边，曲线自左向右是抛物线上位置最低的点；当a<0时，抛物线y=ax2开口___在对称轴的左边，曲线自左向右在对称轴的右边，曲线自左向右是抛物线上位置最高的点。
3）｜a｜越大，开口越 。
2．结合上述二次函数的图像，总结函数y＝a(x－h)2的图象的性质：
1）对称轴是顶点坐标是。
2） a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大，当x= 时函数有最小值，是a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小，当x= 时函数有最大值，是。
3．结合上述二次函数的图像，总结函数y=a(x－h)2＋k 的图象的性质：
1）对称轴是顶点坐标是。
2） a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大，当x= 时函数有最小值，是a<0时， 开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小，当x= 时函数有最大值，是。
4.补充性质。
例9：完成下列填空。
1）已知当x为时，y取最值为 。
2）抛物线的对称轴是顶点坐标是。
3）已知函数的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的解析式为___
4）已知二次函数，当a时，该函数的最小值为0.
5）已知二次函数的最小值为1，那么。
6）已知二次函数的图象上有三点且，则的大小关系为。
7）抛物线，若其顶点在轴上，则 ．
8）已知抛物线，时，，时，.则该函数的对称轴为___
9）已知函数，对称轴为，当时y值为m，当时，y值为n，则m、n 的大小关系为。
习题：已知抛物线y=4(x－3)2－16 ．
1）写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。（2）写出函数的增减性和函数的最值．
习题：函数化为的形式，并写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值。
四、二次函数一般式与顶点式的关系。
二次函数y=ax2+bx+c的图象画法，可分三步：
1 配方法把函数化为y=a(x－h)2+k形式，2 利用顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，3 利用对称点描点画图。
对于二次函数的一般形式 (a≠0)，配方求对称轴、顶点坐标。
一般形式与顶点式相比，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的性质是：
1）对称轴是 ，顶点坐标是。
2）当a＞0时，开口向 ，当x＝ 时，函数有最值为。
当a＜0时，开口向 ，当x＝ 时，函数有最值为。
例10:写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
例11：（1）已知抛物线y=x2－(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，则a的值为。
2）当a<0时，则抛物线y=x2+2ax+1+2a2的顶点所在的象限为。
3）抛物线的顶点坐标为（1，3），则bc
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