二次函数二次函数的图象和性质。
典型例题讲解。
例1、已知抛物线，求：
1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
2)作出草图；
3)根据图象指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0；
4)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？
分析：解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象**相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观．
解：(1)．∵抛物线开口向上．
抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8)．
(2)抛物线与x轴的交点是(－10，0)，(2，0)，与y轴的交点是(0，10)，列表、描点、连线（略），草图如图所示．
(3)当x＜－10或x＞－2时，y＞0；
当x=－10或x=－2时，y=0；
当－10＜x＜－2时，y＜0．
(4)当x=－6时，y有最小值，最小值是－8．
反思：画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象往往通过把解析式配方得到，先确定对称轴和顶点，再在对称轴的两边找出关于对称轴不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连起来．
例2、一个二次函数，具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点(－1，1)；③当x＞－1时，函数值y随自变量x增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式。
分析：此题中的抛物线表达式符合y=a(x＋1)2＋k的形式，再根据题目中的条件画出函数图象，依据数形结合，易求解．
由①知，抛物线开口方向向上，a＞0，取a=1，由③知可令此抛物线的对称轴为x=－1，因此可设y=(x＋1)2＋k，将点(－1，1)代入，得k=1．
∴y=(x＋1)2＋1．
答案：y=2(x＋1)2＋1，等。
反思：解此类问题的关键是恰当地设出表达式，再根据限制条件作答．
例3、 已知一次函数y=ax＋c和二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）
分析：一次函数y=ax＋c，当a>0时，图象过。
一、三象限；当a<0时，图象过二、四象限；c>0时，直线交y轴于正半轴；当c<0时，直线交y轴于负半轴；对于二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)来讲：
解：可用排除法，设当a>0时，二次函数y=ax2＋bx＋c的开口向上，而一次函数y=ax＋c应过。
一、三象限，故排除c；当a<0时，用同样方法可排除a；c决定直线与y轴交点，也在抛物线中决定抛物线与y轴交点，本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点，故排除b.
答案：d.例4、求满足下列条件的二次函数的解析式。
1)图象经过a(－1，3)、b(1，3)、c(2，6);
2)图象经过a(－1，0)、b(3，0)，函数有最小值-8;
3)图象顶点坐标是(－1，9)，与x轴两交点间的距离是6.
分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式。可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解。
(1)解：设解析式为y=ax2＋bx＋c，把a(－1，3)、b(1，3)、c(2，6)各点代入上式得。
解得。∴解析式为y=x2＋2.
(2)解法1:由a(－1，0)、b(3，0)得抛物线对称轴为x=1，所以顶点为(1，-8).
设解析式为y=a(x－h)2＋k，即y=a(x－1)2－8.
把x=－1，y=0代入上式得0=a(－2)2－8，∴a=2.
即解析式为y=2(x－1)2－8，即y=2x2－4x－6.
解法2:设解析式为y=a(x＋1)(x－3)，确定顶点为(1，－8)同上，把x=1，y=-8代入上式得－8=a(1＋1)(1－3).解得a=2，∴解析式为y=2x2－4x－6.
解法3:∵图象过a(－1，0)，b(3，0)两点，可设解析式为：
y=a(x＋1)(x－3)=ax2－2ax－3a.
∵函数有最小值－8.
又∵a≠0，∴a=2.
∴解析式为y=2(x＋1)(x－3)=2x2－4x－6.
(3)解：由顶点坐标(－1，9)可知抛物线对称轴方程是x=－1，又∵图象与x轴两交点的距离为6，即ab=6.
由抛物线的对称性可得a、b两点坐标分别为a(－4，0)，b(2，0)，设出两根式y=a(x－x1)·(x－x2)，即y＝a(x＋4)(x－2).将顶点（－1,9）代入求a，代入上式求得函数解析式为y=－x2－2x＋8.
点评：一般地，已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x，y的值)可设表达式为y=ax2＋bx＋c，组成三元一次方程组来求解；如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值，可选用y=a(x－h)2＋k来求解；若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标，则一般设解析式为y=a(x－x1)(x－x2).
例5、已知抛物线y=a（x－t－1）2＋t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是a，抛物线y=x2－2x＋1的顶点是b（如图）．
（1）判断点a是否在抛物线y=x2－2x＋1上，为什么？
（2）如果抛物线y=a（x－t－1）2＋t2经过点b．①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点a能否成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
分析：（1）a点在抛物线y=x2－2x＋1上，则a点坐标满足方程．（2）①抛物线过b点，则b点坐标满足方程y=a（x－t－1）2＋t2，利用条件t≠0即可求a．
②假设△abc是直角三角形，由a（t＋1，t2）为顶点知，抛物线y=a（x－t－1）2＋t2与x轴的交点b、c必关于对称轴x=t＋1对称，ab=ac，因△abc为等腰直角三角形，若作ad⊥x轴于d，则ad=bd，易知d（t＋1，0）．利用条件ad=bd即可求出t的值（注：分点c在b左或右侧讨论）．
解：（1）点a在抛物线y=x2－2x＋1上．
因为抛物线y=a（x－t－1）2＋t2的顶点为a（t＋1，t2）．
当x=t＋1时，y=x2－2x＋1=（t＋1）2－2（t＋1）＋1=t2，∴点a在抛物线y=x2－2x＋1上．
（2）①抛物线y=x2－2x＋1的顶点为（1，0）即b（1，0）．
∵抛物线y=a（x－t－1）2＋t2经过点b（1，0），∴a（1－t－1）2＋t2=0．
∴t2（a＋1）=0．∵t≠0，∴a＋1=0，∴a=－1．
②抛物线y=a（x－t－1）2＋t2与x轴的两个交点和点a能构成直角三角形．此抛物线与x轴的一个交点为b，另一个交点设为c；当y=0时，得－（x－t－1）2＋t2=0．解得x1=1，x2=2t＋1．∴点b、c的坐标分别为（1，0）、（2t＋1，0）．由抛物线的对称性可知，△abc为等腰直角三角形，过点a作ad⊥x轴，垂足为d，则ad=bd．当点c在点b的左边时，t2=1－（t＋1），t1=－1，t2=0（舍去）；当c在b的右边时，t2=（t＋1）－1，t3=1，t4=0（舍去）．∴当t=±1时，△abc为直角三角形．
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