【一线名师精讲】
基础知识要点。
三角函数的性质。
1、三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式（组）.
一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解。列三角不等式时，要考虑完整，避免遗漏，即既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域（如正切函数等）。求三角不等式组的解，一般先在坐标系中标出各个不等式解集的区域，然后找出公共部分即是三角不等式组的解。
2、三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求的值域；或化为关于（或）的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域。
3、周期函数的最小正周期t必须满足下列两个条件：当取定义域内的每一个值时，都有； 是不为零的最小正数。一般地，若为的周期，则也为的周期，即=.
4、三角函数的奇偶性的判别主要依据定义，即看与的关系，但同时也应注意三角函数定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，所以判定函数的奇偶性时，应首先判定函数的定义域在数轴上是否关于原点对称。当函数的定义域关于原点对称时，运用奇偶性的定义判别即可。
5、函数的单调区间的确定，基本思路是把看作一个整体，比如：由）解出的范围，所得区间即为增区间， 解出的范围，所得区间即为减区间。
若函数，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间；减区间为原函数的增区间，如。
为原函数的减区间，……
对于函数等的单调性的讨论同上。
基本题型指要， ]
例1】求下列函数的定义域和值域：
思路：定义域和值域是函数的两个基本性质，且值域与定义域有关，所以解题中应先求定义域。
误区警示：（2）题在代换中，据的范围，确定了参数，从而正确求解，若忽视这一点，会发生时有最大值而无最小值的结论。
解析：（1），且有意义，，
定义域为； 若。得。
若tanx=0，则。
恒成立。定义域为r；
令。点评：涉及三角函数定义域问题，在函数式未变形之前就应考虑，以避免切割化弦时产生疏漏；对关于的对称式，常做变换）来帮助解决问题。,
例2】求函数。
的最大值。思路：可利用二次函数在闭区间上求最值的方法解决。
误区警示：解此题要注意到参数的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为时，有最大值会产生误解。
解析： 当。
点评：关于以为变量的二次函数的最值问题，要根据三角函数的有界性确定其最值。实际上也是二次函数在闭区间上的最值问题。,
例3】求下列函数的最小正周期：
思路：先将函数式化成同一个角的同一三角函数，再求最小正周期。
解析：（1）
点评：求三角函数最小正周期的基本方法有两种：一是将所给函数化为（或）的形式；二是利用图象的基本特征求。,
例4】判断下列函数的奇偶性。
思路：先判断函数的定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再看与的关系。
解析：（1）
是奇函数。2）当时，，而当时，无意义。的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数。
3）函数定义域为r
是奇函数。点评：在运用定义判断函数奇偶性之前，要注意对表达式较复杂的函数先化简，并保证化简过程是等价变形。,
例5】求下列函数的单调递减区间。
思路：由复合函数的单调性法求解。
解析：（1）函数的定义域为r。
设，因为是单调递减函数，所以为求函数的单调递减区间，应有即。
解得；故原函数的单调递减区间为：
函数定义域为：
设则为单调减函数，为求函数的单调递减区间。
应有，解得，故原函数的单调递减区间为：
点评：（1）为求三角函数的单调区间，有时可用换元的思想把角的某个代数式作新的变量。
2）对于复合函数，应先考虑函数的定义域，再结合函数的单调性来确定单调区间。
阅卷老师评题】
例6】（2023年全国高考）已知，那么下列命题成立的是（ ）
a）若是第一象限角，则。
b）若是第二象限角，则。
c）若α，β是第三象限角，则cosα>cosβ
d）若是第四象限，则。
命题目的：本题主要考查象限角的概念和三角函数的单调性，以及简单的推理能力。
考情分析：象限角的概念不清以及不能灵活运用三角函数的单调性，导致丢分。
思路导引：解答该题的基础知识是正弦函数、余弦函数和正切函数在各个象限上的单调性。既可用分析法求解，也可用作图法求解，依题意，为了方便讨论，可把的取值限在区间内，则可用下面几种方法求解。
解析1：要求同时成立，则在所在的象限上，正、余弦函数应有相同的增减性。由于在第一象限上正弦函数是增函数，而余弦函数是减函数，所以排除（a）；由于在第三象限上，正弦函数是减函数，而余弦函数是增函数，所以排除（c）.
要求同时成立，则在所在的象限上，正弦函数与正切函数应有相同的增减性，由于在第二象限上正弦函数是减函数，而正切函数是增函数，所以排除（b），从而得答案为（d）.
解析2：由可知：
当同在第一象限或同在第四象限时，有；而当同在第二象限或同在第三象限时，有。
由于在第四象限上，正切函数是增函数，所以有，故答案为（d）.
解析3：在区间上作和的图象（如图），可以看到，在第一或第三象限上，的增减性相反，在第二象限上，的增减性也相反，而在第四象限上，的增减性相同，故得答案为（d）.
好题优化训练】
a、基础巩固。
1、函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
ab）cd）
答案：（a）
解析：已知函数可化为作出函数的图象便可看到是它的一条对称轴。
2、（2023年上海春季高考）下列函数中，周期为1的奇。
函数是（ ）a）b）
c）d）
答案：（d）
解析：（a）、，偶函数；（b）、
且，故该函数既不是奇函数也不是偶函数。
c）、，奇函数；
d）、，奇函数。
3、函数的一个单调减区间是（ ）
ab）cd）
答案：（d）
解析：令，则，因为是减函数，故只需求的单增区间即可，经检验知应选（d）
4、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数的最小值是
答案：13解析：由已知得正整数的最小值是13
5、若且f（1）=14，则f（－1
答案：0解析：设g（x）=，则，且为奇函数，b、技能培训。
6、下列命题正确的是（ ）
a）在第一象限单调递增。
b）在上单调递增。
c）在上单调递增。
d）上单调递增。
答案：（c）
解析：由题意知错，故选（c）
7、（2023年全国高考）若，则（ ）
ab）cd）
答案：（a）
解析1：因为。
又。根据正弦函数的单调性，得，故选（a）
解析2：因为。
又所以。其次，由所以由得。
8、（2023年全国高考）函数。
在区间上是增函数，且，则函数在上（ ）
a）是增函数 （b）是减函数。
c）可以取得最大值m
d）可以取得最小值。
答案：（c）
解析1：取，则，再取则试题的已知条件全部满足。由于在上，既不是增函数，又不是减函数，同时可以取得最小值为，因此，排除（a）、（b）、（d）项，得（c）项为答案。
解析2：由题意知：，所以由。
f（a）得，即在区间上不可能是增函数，也不可能是减函数，排除（a），（b）项。其次，在正弦函数y=f（x）的单调区间[a，b]上，余弦函数正负性不改变，因为在上是增函数，且不取值，所以在上只能取正值，故排除（d）得（c）.
9、（2023年东北四市联考）设函数若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
ab）cd）
答案：（d）
解析：是奇函数且是增函数，由
即对恒成立，当时，上式对恒成立；当时，则恒成立，又故选（d）
10、若函数在区间上至少出现50次最大值，则的最小值是
答案： 解析：由题意得而。
11、给出五个命题：
是奇函数；如果是偶函数，则；当时，取得最大值； 的值域是；点是的图象的一个对称中心。其中正确命题的序号是。
答案： 解析：由三角函数的性质易得。
12、已知，求。
的最大值和最小值。
答案：最大值是，最小值是0
解析： ，解得。
将代入y，得令，则，易知上是单调递增函数，
13、已知函数。
1）求的定义域和值域；
2）判断的奇偶性，并求的周期；
3）指出的单调区间。
答案：（1）的定义域为；值域为；（2）为非奇偶函数，；
3）的递减区间是，递增区间是
解析：（1）要使函数有意义，需要，即。
即函数的定义域为。
即函数的值域为。
2）由函数的定义域可知函数既不是奇函数，也不是偶函数。
所以是函数的一个周期。
3）设，则当时，随的递增而递增，此时随的递增而递减。
所以的递减区间是同理，的递增区间是。
c、思维拓展。
14、已知函数的定义域为，值域为，求常数的值。
答案： 解析：
当a>0时，当a<0时，f(x)max=－2a×1+a+b=－a+b=1,f(x)min=－2a×+a+b=2a+b=－5
15、（2023年新课程）已知函数是r上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。
答案： 解析：由是偶函数，得即。
所以。对任意都成立，且，所以得。依题设，所以解得。由的图象关于点m对称，得取。
所以。当时，在上是减函数；
当时，在上是减函数；
上不是单调函数。
所以，综合得。
三角函数性质
1.4.3正切函数的图像与性质1 课前预习学案。一 预习目标。利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质。二 预习内容。1.画出下列各角的正切线 2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数图象 3.把上述图象向左 右扩展，得到正切函数，且的图象，称 正切曲线 4.观察正切曲线...
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三角函数的图象和性质。三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来。本节主要帮 生掌握图象和性质并会灵活运用。难点磁场。已知 为锐角，且x 0,试证不等式f x x 2对一切非零实数都成立。案例 例1 设z1 m 2 m2 i,z2 cos sin i,其...
三角函数性质
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