三角函数的图象及其变换。
知识点梳理】
一、三角函数五点作图法。
设，令、、、求出相应的值，得到5个关键点的坐标，描点后画出图象．
二、三角函数的伸缩平移。
函数图象与函数图象的关系：
函数的图象的纵坐标不变，横坐标向左或向右平移个单位得的图象；（左加右减）
函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；
函数的图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象；
函数的图象的横坐标不变，纵坐标向上或向下平移个单位，得到函数的图象．（上加下减）
三、简谐运动的相关概念。
1、振幅：做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离a；
2、最小正周期：做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
3、频率：做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
4、称为相位，时的相位称为初相．
四、的性质及题型（整体思想）
1 .最小正周期：
2. 单调区间：把看成一个整体代入到的单调区间内求解。
3.最值：注意自变量的取值范围。
4.奇偶性判断。
五、的性质及题型。
1. 求最小周期。
2. 把看成一个整体代入到的单调区间内求解。
3.奇偶性判断。
题型一三角函数五点作图法。
例题1：利用五点作图法画出函数在区间上的图象．
题型二三角函数的伸缩平移。
例题2：为得到函数的图象，只需把函数，图象上所有的点（ ）
a、向左平移的单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
b、向右平移的单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
c、向左平移的单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
d、向右平移的单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
例题3：将函数的图象先向左平移，然后将得图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（ ）
a、 b、 c、 d、
题型三三角函数的图象与性质。
例题4：（1）下列函数，在上是增函数的是（ ）
ab. cd.
2）下列区间中，函数的递减区间是（ ）
abc. d.
3）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
a. b. cd.
(4)函数y = sin(2x+)的图象的一条对称轴方程是 （
a．x = b．x =－c．x = d．x =
(5)函数的图象关于 （
a．点，0)对称 b．点，0)对称 c．直线对称 d．直线对称。
例题5：已知函数，1）求函数的定义域；
2） 求函数的值域；
3） 求函数的周期；
4）求函数的最值及相应的值集合；
5）求函数的单调区间；
6）若，求的取值范围；
7）求函数的对称轴与对称中心；
例题6：求函数y=tan(2x－)的单调增区间．
题型四函数的解析式的求法。
例题7：已知函数的部分图象如图所示，求函数的解析式。
例题8：设的最高点d的坐标为，由最高点运动到相邻的最低点时，曲线与x轴交点e的坐标为．
1）求a、、的值；
2）求函数的单调增区间。
方法与技巧总结】
1、“五点作图法”的步骤：
用“五点法”作图要找出五个关键点，即、、、对应的五点．作图时，先由、、、求出的值和的值再描点画图，一般五点作图包括三类点，即最高点、最低点和对称中心点．当题目中所给区间的端点不是关键点时，需要将端点和区间内四个关键点描出．
2、 图象变换的两种方法。
如果是“先平移后伸缩”，是先平移个单位后再将横坐标变为原来的；如果是“先伸缩后平移”，是先将横坐标变为原来的，再平移个单位．
3、根据图象求解析式的方法。
利用函数求、、、的值或求确定函数解析式时，一般先求和，其中，；求时，一般根据公式（其中是对应函数的最小正周期），确定函数的最小正周期一般是将函数的最小正周期分为四等份（由函数在一个周期内的五个关键点确定），根据图中的两个关键点确定函数的最小正周期；在求初相，一般根据根据关键点而确定，一般认为最高点对应的相位值为，最低点的相位值为，对称中心点的相位值为（附近图象为单调递增）与（附近图象为单调递减），将对应的横坐标代入即可求解．
4、“局部——整体”思想。
1）求函数的单调区间：由的取值范围确定x的取值范围（整体到局部）；
2）已知x的取值范围求值域：由x的取值范围确定的取值范围（局部到整体）．
课后练习】1．用五点作图法作函数在一个周期内的图象，所选择的五个关键点的横坐标分别为（ ）
a、0b、0、、、
c、0d、0、、、
2．简谐运动的相位和初相分别是（ ）
a、3，5b、， c、3d、，
3．把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到图象所表达的解析式是（ ）
ab、， c、， d、，
4．为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
a、向右平移个单位 b、向左平移个单位 c、向右平移个单位 d、向左平移个单位。
5．函数（，，的部分图象如图所示，则、的值分别为（ ）
a、2， b、， c、2， d、2，
6. 已知的图象的一个对称中心是，则可取（ ）
1） b、 c、 d、
7．已知函数，下面结论错误的是（ ）
a、函数的最小正周期为b、函数是奇函数。
c、函数的图象关于直线对称 d、函数在区间上是减函数。
8．把函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，则得到的函数的解析式是。
9．函数的图象如图所示，则函数解析式为y
10．已知函数．
1）用“五点法”画出函数的草图；
2）函数图象可由的图象怎样变换得到？
11．已知函数在一个周期内的图象如图：
1）求函数的解析式；
2）求函数的单调递增区间．
12．已知函数，图象最低点的纵坐标是，相邻的两个对称中心是和．
1）求的解析式；
2）求的值域；
3）求的对称轴．
课后练习答案：
1．选b． 2．选b． 3．选c． 4．选c． 5．选d．
6．选b．由于，则，∴，验证各选项可知仅当时满足．
7．选d．，所以最小正周期为，所以选项a正确；
所以函数是奇函数，所以选项b正确；
由于，则当时，函数取最小值－1，所以函数的图象关于直线对称，所以选项c正确；
对于区间内的和，，但是，，则，所以函数在区间上不是减函数，所以选项d错误．
9．．由图知，，由，知，，则，由图象知最高点坐标为，将其代入，得，，解得，由于，则，∴．
10．【解析】（1）列表：
描点、连线如图所示：
将在的图象向左(右)平移个单位，即得到的图象．
2）将向左平移个单位得到，将横坐标变为原来的得到，将所有点向上平移1个单位得到．
11．【解析】（1）由图得，，，故．
又，即，，又，∴，得函数解析式为．
2）令，函数的单调递增区间是，由，得，所以函数的递增区间为．
12．【解析】（1），，
又∵∴，又，∴，
2）值域是．
3）令，得，∴对称轴是直线．
例题答案：例题1：【解析】令，，，且，故函数在区间上的图象如下图所示：
点评】用“五点法”作图要明确哪“五点”，即、、、对应的五点，作图时，先由、、、求出的值和的值再描点画图，一般五点作图包括三类点，即最高点、最低点和对称中心点，有时也需要将端点描出．
例题2：【解析】选c．函数。
点评】考查三角函数图象先平移后伸缩的方法．
例题3：【解析】选d．函数。
点评】当时，要先提取出后再平移．
例题4：（1）a (2) b (3) d (4) a (5) b
例题5：【解析】（1）函数的定义域；
2）函数的值域，；
4）的最大值为2，此时的取值集合为，的最小值为-2，此时的取值集合为；
5）的增区间；的减区间；
7）的对称轴为，对称中心；
例题6：【解析】y=tanx，x (－kπ, kπ)(kz)是增函数．
－+kπ<2x－<+kπ，kz，即－+函数y=tan(2x－)的单调递增区间是(－+kz)．
例题7：【解析】周期满足，， 且，函数解析式为，当时，取最大值，则，函数解析式为。
点评】根据图象求解析式，一般先由最值确定振幅a，再由图象确定最小周期t，得出，最后代入最值的坐标点求出．
例题8： 【解析】（1）由已知条件得，，得，∴．
当时，∴，即，，取，则，∴函数的解析式为．
2）当，即时，函数单调递增，点评】求单调区间时，一般根据图象单调性由的范围确定x的范围．
5正弦函数的图象与性质
一 基础知识。1 复习 正弦函数定义。2 五点法作出y sinx图象应选取的五点为一般步骤为。3 正弦函数y sinx的性质。1 定义域。2 值域。3 周期性。结论 的周期为。4 奇偶性。5 单调性 在每一个闭区间上都是减函数 每一 个闭区间上都是增函数。6 对称性 对称轴对称中心。二 基本技能。例...
5正切函数的性质和图象
正切函数的性质和图象 说课稿。尊敬的各位评委老师，上午好！今天我说课的题目是 正切函数的性质与图像 选自人民教育出版社普通高中课程标准试验教科书 数学 必修4第一章第四节第三课时的内容。下面我将从教材分析 学生情况分析 教法学法分析 教学过程设计 板书设计这五个方面进行说课。敬请各位专家 评委批评指...
1 5 1函数的图象与性质
1.5.1 函数的图象与性质。主备人朱慧芳。学习目标 1.了解的实际意义，会用五点法画出函数的简图。2.会对函数进行振幅变换，周期变换，相位变换，领会 由简单到复杂，从特殊到一般 的化归思想。学习重点 五点法画的简图和对函数的三种变换。学习难点 函数的三种变换。学习关键 平移变换。函数的图象振幅变换...