第3节函数的性质与应用。
1、高阶等差数列。
1）基本知识。
1.定义：对于一个给定的数列，把它的连结两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列，如果，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得出数列的阶差数列，其中。
2.如果某数列的阶差数列是一非零常数列，则称此数列为阶等差数列。
3.高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。
4.高阶等差数列的性质：
1）如果数列是阶等差数列，则它的一阶差数列是阶等差数列。
2）数列是阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于的次多项式。
3）如果数列是阶等差数列，则其前项和是关于的次多项式。
5.高阶等差数列中最重要也是最常见的问题是求通项和前项和，更深层次的问题是差分方程的求解，解决问题的基本方法有：
1）逐差法：其出发点是。
2）待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项与前项和是确定次数的多项式（关于的），先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得。
3）裂项相消法：其出发点是能写成。
4）化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的。
例题精讲。例1.求和：
例2.已知整数列适合条件：
求数列的前项和。
例3.求证：二阶等差数列的通项公式为。
例4.求数列的通项。
2、数学归纳法。
数学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法，在数学中占有很重要的地位。
1.数学归纳法的基本形式。
（1）第一数学归纳法。
设是一个与正整数有关的命题，如果。
1 当时，成立；
2 假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，也成立。
2）第二数学归纳法。
设是一个与正整数有关的命题，如果。
1 当时，成立；
2 假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，也成立。
2.数学归纳法的其他形式。
（1）跳跃数学归纳法。
1 当时，成立。
2 假设时成立，以此推得那么，根据①②对一切正整数时，成立。
2）反项数学归纳法。
设是一个与正整数有关的命题，如果。
1 对无限多个正整数成立；
2 假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立。
3.应用数学归纳法的技巧。
1）起点前移：有些命题对于一切大于等于1的正整数都成立，但命题本身对也成立，而且验证起来比验证时容易，因此用验证成立代替验证，同理，其他起点也可以前移，只要前移点成立且容易验证就可以了，因而为了便于起步，有意前移起点。
2）起点增多：有些命题在由向跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充某些特殊情形，因此需要适当增多起点。
3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也可以相应增多。
4）选择适合的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设时命题成立”不可，需要根据题意采取第。
一、第二、跳跃、反项数学归纳法中的某一形式，灵活选择应用。
5）变换命题：有些命题在用数学归纳法证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明。
5.归纳、猜想和证明。
在数学中经常通过特例或根据一部分对象的出的结理论可能是正确的，也可能是错误的，这种严格的推理方法成为不完全归纳法。不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步验证或证明，经常采用数学归纳证明。不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法。
例1.已知数列满足求通项。
例2.设数列满足求证：对任意，有。
3、递归数列通项公式的求法。
确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决有关数列问题的关键。
基础知识。定义：对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归关系及给定的前项的值（称为初始值）所确定的数列称为阶递归数列。
若是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列。求递归数列的常用方法：
1）公式法。
1）设是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；
2）设是等比数列，首项为，公差为，则其通项为；
3）已知数列的前项和为，则。
2）迭代法。
迭代恒等式：；
迭乘恒等式：
迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：
类型一：已知求通项：
类型二：已知，求通项：
例1.已知数列满足，求数列的通项公式。
例2.设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式是
3）待定系数法（或构造法）
类型三：已知求通项；
关于一阶线性递推数列：，其通项公式的求法一般采用如下的待定系数法（或“构造法”），将递推数列转化为等比数列：
设，则，令，即，当时可得。
已知数列是以为公比的等比数列，将代入并整理，得。
类型四型。例1. 已知时，，求的通项公式。
例2.已知数列满足；求数列的通项公式。
例3.已知数列满足，求数列的通项公式。
例4.设正整数列满足，且，求的通项公式。
例5.在数列中，，求通项公式。
例6.数列中，（其中为常数，）
求。通过以上例子可看出，求一阶递推数列的通项公式应注意对递推关系的灵活变形，转化为可运用等差数列或等比数列可处理的形式是关键，在解题中能准确运用特征数，可大大简化解题过程，提高解题速度。
例7.设数列的前项和与的关系为，其中是与无关的常数，且（1）求与的关系式；
2）写出用于表示的表达式。
例8.数列满足且。
记。1）求的值；
2）求数列的通项公式及数列的前项和。
4）特征根法。
类型四：1、第一类特征根方程—―
设二阶常系数线性齐次递推式为（为常数）
其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为，其中由初始值确定。
证明：设，则，令
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