上海市建平中学。
一． 教学课时安排：
1. 函数的概念及其运算（1课时）
2. 函数的奇偶性与周期性（1课时）
3. 函数的单调性（1课时）
4. 函数的最值与值域（1课时）
二． 教学建议：
一）. 函数的概念及其运算（1课时）
重点难点、教学建议。
1、函数定义的理解；
2、两个函数的相等；
3、函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法。
时，要注意研究定义域的变化．
4、在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析。
式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来。
表示。5、求函数的定义域一般有两类问题：一是给出解析式，应抓住使整个解析式有意义的自变。
量的集合；二是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或。
几何问题有意义。
6、复合函数：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变。
量，它的取值范围是g(x)的值域。
例题选讲。例1： 求下列函数的定义域：
⑤已知函数的定义域是[1，2],求的定义域。
解：①要使函数有意义，必须： 即
∴函数的定义域为： [
要使函数有意义，必须
∴定义域为：；
要使函数有意义，必须
∴函数的定义域为：；
要使函数有意义，必须
∴定义域为：.
求定义域步骤：根据函数式列不等式（组） →解不等式（组）→得到定义域。
例2：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
定义域不同，这不是相同函数）；，定义域不同，这不是相同函数）；，定义域、值域都不同，这不是相同函数）.
判断步骤：函数是否相同，看定义域和对应法则。
例3：已知 ，求。
分析： 的意义是：
当x<0时，f(x)=0；当x=0时，f(x)=π当x>0时，f(x)=x+1.
解： 例4:下表是某同学在高一学年度几次数学测试的成绩表：
这是次数x与成绩f(x)的一个函数关系，求f(5)，并写函数f(x)的定义域、值域。
分析： f(x)是由实际问题抽象出来的函数，不是解析式，是“列表”，函数的定义。
域应符合实际问题。 其值域是所有函数值的集合。
解：由“列表”函数关系，知f(5)＝88；
f(x)的定义域为、值域为。
例5（1）.（待定系数法）设二次函数满足，且图像在y轴上的截距为1，被x轴截的线段长为，求的解析式。
答案。2）.(代换法)已知＝，求的解析式。
答案： =或。
3）.(方程的思想)设，求的解析式。
答案： 例6：某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据。
经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系：
其中c为小于96的正常数）
注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利a元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量．
1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；
2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
解：（1）当时，，所以，每天的盈利额；
当时，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额。
综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0．
当时，．令，则．
故。当且仅当，即时，等号成立．
所以（i）当时，（等号当且仅当时成立）．
ii）当时，由得，易证函数在上单调递增（证明过程略）．
所以，．所以，
即．（等号当且仅当时取得）
综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当。
日产量为时，可获得最大利润．
注：分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．
例7：函数对一切实数，均有成立，且，1）求的值；
2）对任意的，，都有成立时，求的取。
值范围．解：（1）由已知等式，令，得，又∵，∴
2）由，令得，由（1）知，∴．在上单调递增，．
要使任意，都有成立，当时，,显然不成立．
当时，，∴解得。
的取值范围是．
二） 函数的奇偶性与周期性（1课时）
重点难点、教学建议。
1. 奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质。 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性。
如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0.
2．奇偶函数图象的对称性。
3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解
4. 有关结论一：由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：
函数满足，则是周期为2的周期函数；
若恒成立，则；
若恒成立，则。
若恒成立，则。
若恒成立，则。
5. 有关结论二：
①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；
若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；
如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；
例题选讲。例1：判断下列函数的奇偶性：
1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；
思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定**决，但都要先考查函数的定义域。
解析] （1）函数的定义域x∈（－对称于原点。
f（－x）=|x+1|－|x－1|=|x－1|－|x+1|=－x+1|－|x－1|）=f（x），f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数。
2）先确定函数的定义域。由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数。
3）去掉绝对值符号，根据定义判断。
由得。故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.
从而有f（x）= f（－x）==f（x）
故f（x）为奇函数。
4）∵函数f（x）的定义域是（－∞0）∪（0，+∞并且当x＞0时，－x＜0，f（－x）=（x）［1－（－x）］=x（1+x）=－f（x）（x＞0）.
当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.
故函数f（x）为奇函数。
注：函数的奇偶性是函数的一个整体性质， 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为d, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件。
分段函数的奇偶性一般要分段证明。③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式。
例2 定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有。 求证f (x)为奇函数；
[解析]令x = y = 0，则 f (0) +f (0f (0) =0
令x∈(－1, 1) ∴x∈(－1, 1f (x) +f (－x) =f ()f (0) =0
f (－x) =f (xf (x) 在(－1，1)上为奇函数。
注：对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) －f (x2) =f (x1) +f (－x2)
例3 已知定义域为的函数是奇函数。（1）求的值；
2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
解：（1）∵函数是奇函数，∴
2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
在上单调减，且是奇函数。
故，即。即对任意的恒成立。
例4 已知函数f(x)的定义域为r，且满足f(x+2)=-f(x) .
1）求证：f(x)是周期函数； （2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)= x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的个数。
1）证明： ∵f（x+2）=-f（x）， f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）］=f（x），f（x）是以4为周期的周期函数。
2）解：f(x)是奇函数，故f(x)= x(-1≤x≤1)
又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1, ∴f(x-2)= x-2),
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-f（-x）］=f（x），
-f（x）=（x-2）， f（x）=-x-2）（1＜x＜3）.
f（x由f(x)=-解得x=-1.
f（x）是以4为周期的周期函数。 故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈z).
令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤,
又∵n∈z，∴1≤n≤502 （n∈z）, 在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=-
三） 函数的单调性（1课时）
重点难点、教学建议。
1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域；
2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；
3）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明在某区间上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，不能用区间上的两个特殊值来代替。而要证明在某区间上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间上两个特殊的，，若，有即可。
4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和。
5）一些单调性的判断规则：①若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。②复合函数的单调性规则是“异减同增”
函数的概念与性质
一 选择题 1 设a b 从a到b的对应是。其中是映射的是 a b c d 2 函数y x2 x 2单调减区间是 ab 1，c d 3 y x2 x 0 的反函数为 a y x 0 b y x 0 c y x 0 d y x 0 4 设f x x 则f 1 2 等于 a b.c.d.5 函数y 的定...
集合与函数的概念函数的基本性质
二 奇偶性。一 知识梳理 1.定义 如果对于函数f x 定义域内的任意x都有则称f x 为奇函数 若则称f x 为偶函数 如果函数f x 不具有上述性质，则称f x 是如果函数同时具有上述两条性质，则称f x 是。2.简单性质 1 图象的对称性质 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称 一个函...
函数的概念与基本性质 一
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