定义新运算

（1）基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

2）基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

3）关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

4）注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、等。

如：2＋3＝52×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同。可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。

当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算。在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的运算不相同。

二、定义新运算分类。

1）直接运算型。

2）反解未知数型。

3）观察规律型。

4）其他类型综合。

1）正确理解新运算的规律。

2）把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。

3）新运算也要遵守运算规律。

例 1】对于任意两个数，定义新运算◆和，规则如下：◆=如：◆=

由此计算：◆

巩固】对于任意两个数，定义新运算，运算，规则如下：◆=按此规则计算。

例 1】如果、、是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即。

现在规定一种运算"*"它对于整数 a、 b、c 、d 满足：

例：请你举例说明，"*运算是否满**换律、结合律。

例 2】用表示的小数部分，表示不超过的最大整数。例如：记，请计算的值。

例 3】在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按"中→左→右"的顺序。如：

图a表示：2+3， b表示2+3×2－1。图c中表示的式子的运算结果是。

例 4】对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”规定：x※y=,其中的表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算。又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是。

巩固】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值。

例 5】喜羊羊喜欢研究数学，它用计算器求个正整数的值。当它依次按了得到数字。而当它依次按时，惊讶地发现得到的数值却是。

这时喜羊羊才明白计算器先做除法再做加法。于是，她依次按，得到了正确的结果为。（填出所有可能情况）

例 6】国际统一书号isbn由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：

某书的书号是isbn 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：

11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。

依照上面的顺序，求书号isbn-7-303-07618-□的核检码。

例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是___

例 8】已知：10△3=14， 8△7=2，△，根据这几个算式找规律，如果

=1，那么=.

例 9】表示成；表示成。

试求下列的值：

4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积，试证明：.

例 10】对于任意的两个自然数和，规定新运算：，其中、表示自然数。求1100的值；已知1075，求为多少？如果（3）2121，那么等于几？

巩固】两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数，余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. （8级）

(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;

(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;

(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.

例 11】设a,b是两个非零的数，定义a※b.

1)计算(2※3)※4与2※(3※4).

2)如果已知a是一个自然数，且a※3=2,试求出a的值。

巩固】定义运算“⊙”如下：

对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.

比如：10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.

(1)求12⊙21,5⊙15;

(2)说明，如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;

(3)已知6⊙x=27,求x的值。

随练1】如果 1※2＝1＋11

计算（3※2）×5。

随练2】规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.

作业1】规定△, 计算：（2△1）（11△10）__

作业2】规定：6※2=6+66=72

作业3】如图2一只甲虫从画有方格的木板上的a点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到b，图1中的路线对应下面的算式：.请在图2中用粗线画出对应于算式：的路线．

作业4】 “表示一种新的运算符号，已知：2⊙3；7⊙2：3⊙5，……按此规则，如果n⊙868，那么，n___

作业5】羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：

羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：

羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算。

运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)

作业6】一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为，为偶数的那些数字的和记为，例如，．

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