第二十七讲定义新运算。
同学们已经学习了加、减、乘、除四则运算，四则运算是最基本的运算，它的意义、运算法则同学们已经非常熟悉。定义新运算，是在四则运算的基础上，是一种特殊的符号来表示某种特定的运算，在计算时必须严格按照所定义的运算格式进行代换计算。
例题1、对于任意的两个自然数a ，b，存在a*b=4a+2b，那么4*5的值是多少？
分析。a*b=4a+2b，这种运算方式我们以前没有接触过，这就是一道新定义的运算，规定“a*b”这种运算的形式就是4a+2b。
那么当a=4时，b=5时，“a*b”就可以写作“4*5”。
根据新规定的运算格式，4*5=44+25=26。
从上面的计算中我们看到，解答定义新运算这种类型的题目，应分步去做：首先按照新定义的运算方式将字母替换成数，然后根据四则运算求出算式的值。
练习。1、 对于任意两个自然数a, b,存在a*b=5a-2b,那么5*3的值是多少？
解答： 规定“a*b”这种运算的形式就是5a-2b。
那么当a=5,b=3, “a*b”就可以写作“5*3”。
根据新规定的运算格式，5*3=55-23=19。
2、 对于任意两个自然数a, b,存在a△b=(a +b) (a-b).请计算12△8的值。
解答：规定“a△b”这种运算的形式就是(a +b) (a-b)。
那么当a=12时，b=8时，“a△b”就可以写作“12△8”。
根据新规定的运算格式，12△8=（12+8）（12-8）=80。
3、 定义运算符号“*”对于任意两个自然数a, b，存在a *b =(a +b)-(a-b)。请计算：（1）8*5 （2）24*15
解答：(1)、规定“a*b”这种运算的形式就是(a +b)-(a-b) 。
那么当a=8,b=5, “a*b”就可以写作“8*5”。
根据新规定的运算格式，8*5=（8+5）-（8-5）=10。
例题2、如果对于运算符“*”a*b表示a的5倍减去b的2倍，那么请计算。
2*）*的值。
分析。分两步解答。首先应根据新定义的运算符“*”来代换并计算出2*的值。
然后根据新定义的运算符“*”代换并计算出*的值。
练习。1、如果对于运算符“*”a*b表示a的3倍减去b的2倍，那么请计算。
（1*）*的值。
解答：首先应根据新定义的运算符“*”来代换并计算出1*的值。
然后根据新定义的运算符“*”代换并计算出*的值。
2、如果对于运算符“△”a△b表示a与b的和减去a与b的差，那么请计
算（12△8）△3的值。
解答：首先应根据新定义的运算符“△”来代换并计算出12△8的值。
然后根据新定义的运算符“△”代换并计算出16△3的值。
3、 如果对于任意两个自然数a, b,存在a*b=a+b,那么（8*5）*2的值是多少？
解答： 首先应根据新定义的运算符“*”来代换并计算出8*5的值。
然后根据新定义的运算符“*”来代换并计算出5*2的值。
例题3、如果规定9*1=9，6*2=6+66，4*3=4+44+444，2*4=2+22+222+2222，那么2*5的值是多少呢？
分析。从前面几个算式知道运算符“*”表示的是几个数相加，符号前面的数是第一个加数，且后一个加数都比前一个加数多一个数位，且每个加数各个数位上的数字相同，都是运算符前面的数，而运算符后面的数恰好是加数的个数，即a*b=a+aa+aaa+ …根据这一规律，可以计算出2*5的值。
练习。1、 如果规定7*3=7+77+777，4*2=4+44，3*4=3+33+333+3333，那么5*6的
值是多少呢？
解答：从前面几个算式知道运算符“*”表示的是几个数相加，符号前。
面的数是第一个加数，且后一个加数都比前一个加数多一个数位，且每个加数各个数位上的数字相同，都是运算符前面的数，而运
算符后面的数恰好是加数的个数，即a*b=a +aa +aaa
根据这一规律，可以计算出5*6的值。
2、如果2*1=，3*2=，4*3=，求（6*3）（2*6）的值。
解答：从前面几个算式知道运算符“*”表示的是分数，“1”是分子，
且运算符前面的数都是分母各个数位上的数值，而运算符后面的。
数恰好是分母的个数，即a*b=。
根据这一规律，可以计算出6*3与2*6的值。
4、 已知1*6=123456,6*5=678910,按此规定计算(2*5) (6*6)的值。
解答：从前面几个算式知道运算符“*”表示的是几个数相乘，符号前面的数是第一个因数，且后一个因数都是前一个因数加1的和，而运算符后面的数恰好是因数的个数，即a*b=a (a+1)（a+2）(a+3)…(a+b-1) 。
根据这一规律，可以计算出2*5与6*6的值。
例题4、对于任意两个自然数a, b,有a*b=2a+4b。已知*（5*6）=2002，
求的值。分析。
根据定义新运算的规则，先计算出括号里面5*6=25+46=34。再根据定
义新运算的规则，将*34化成四则运算的形式2+434。
解得： =933
练习。1、 对于任意两个自然数a, b,有a*b=5a-3b。已知*（4*2）=24，求的值。
解答：根据定义新运算的规则，先计算出括号里面4*2=54-32=14。
再根据定义新运算的规则，将*14化成四则运算的形式
解得： =2、 对于任意两个自然数a, b,有a*b=a b-ab。已知*（12*4）=56，求的值。
解答：根据定义新运算的规则，先计算出括号里面12*4=124-124=45。
再根据定义新运算的规则，将*45化成四则运算的形式
解得： =3、对于任意两个自然数a, b,有a△b=ab-(a +b)+ 求（20△5）+（12△4）的值。
解答： 根据定义新运算的规则，先计算出括号里面。
例题5、定义运算“△”如下：对于任意两个自然数a和b，它们的最大公
因数与最小公倍数的和记为a△b,例如：
18△12=（18，12）+=6+36=42。根据定义的新运算，计算
24 △60的值。
分析。根据定义的新运算，24△60表示24和60的最大公因数与最小公倍数的和。
因此，24△60=（24，60）+=12+120=132。
练习。1、定义运算“△”如下：对于任意两个自然数a和b，它们的最大公
因数与最小公倍数的和记为a△b。根据定义的新运算，计算20△35
的值。解答： 根据定义的新运算，20△35表示20和35的最大公因数与最
小公倍数的和。因此，20△35=（20，35）+=5+140=145。
2、对于任意两个自然数a和b，a除以b的余数记为a¤b,例如；25¤7=4。
根据定义的新运算，计算（47¤8）¤4的值。
解答： 根据定义的新运算，先计算出括号里面，47¤8表示47除以8
的余数。因此，47¤8=7，47¤8）¤4=7¤4=3。
3、 规定：符号“△”为选择两数种较大的数的运算，“○为选择两数中
较小数的运算，例如：12△9=12，5○8=5。计算：
的值。解答： 根据定义的新运算，先计算出括号里面18△7=18，14○7=7，再
计算中括号里的=18○25=25，
6△7=7，因此， =257=175。
课后练习。1、 规定a*b=(a +b) b,求（3*4）*8的值。
解答： 首先应根据新定义的运算符“*”来代换并计算出3*4的值。
然后根据新定义的运算符“*”代换并计算出28*8的值。
因此，（3*4）*8=28*8=(28+8) 8=288
2、 规定a*b=，求（2*7）+（5*6）的值。
解答： 首先应根据新定义的运算符“*”来代换并计算出2*7与5*6
的值。 2*7==，5*6==，因此，（2*7）+（5*6）=+
定义新运算
教学内容 定义新运算。教学时间 2014 6 24 教学目标 知识目标1 熟悉定义新运算的意义。2 掌握新旧转化的方法3 熟悉定义新运算的类型。2 能力目标会用替代法。3 培养学生对数和字母应用的理解，从而开拓学生的思。维和视野。教学重点 新旧运算符号的转化教学难点 对替代法解题的应用教学方法 讲授...
定义新运算
一 知识要点。1 我们学过的常用运算有 等。如 2 3 5，2 3 6。都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同。可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们...
定义新运算
1 规定 a b b a b，那么 2 3 5得多少？ab2 规定 a b 则 2 5 3 得多少？ba3 规定 a b 若6 x 22 3，则x是多少？4 如果a b表示 a 2 b，例如3 4 3 2 4 4，当a 5 30时，那么a是多少？5 已知a，b是任意有理数，我们规定 a b a b ...