椭圆问题。
一、焦点三角形的性质。
1.椭圆（a>b>0）左右两个焦点分别为f1、f2，p是椭圆上的一点。
1）已知c>b，当∠f1pf2为钝角时，求点p的横坐标的取值范围；
2）若∠f1 pf2=α,求△f1 pf2的面积； [
3）求∠f1 pf2的最大值在短轴端点处，]
4）设△f1 pf2的内心为i,pi交f1 f2于n,求的值。
2．设f1、f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上的任意一点，已知p、f1、f2是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。 [
二、焦半径。
1.椭圆（a>b>0）左右两个焦点f1、 f2，p(x,y)是椭圆上的一点。
1)求证；.
2)求的最小值和最大值； [max=a+c; min=a-c; ]
(3)求的最小值和最大值；[最大值为a2 ;最小值为b2]
4）若p f1⊥x轴，求。
2.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则。
解：由题意， ,关于y轴对称。
7a=35 ；
3．设f是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点pi（i=1，2，3，…）使|fp1|，|fp2|，|fp3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为。
解：设， 当时，
4. 椭圆（a>b>0）的左右两个焦点f1、 f2，p是椭圆上的一点。以o为圆心，a为半径作圆o，以f2p为直径作圆o1，判断圆o与圆o1的位置关系。
证明：如图建立直角坐标系，设椭圆的左右焦点分别为、，焦半径的另一个端点为p，的中点为m，由题意可得即。
圆m与圆o相切。原命题得证。
三、动点的轨迹。
1.已知，b是圆f： (f为圆心)上一动点，线段ab的垂直平分线交bf于p，求动点p的轨迹方程。
解：，由椭圆的定义得。
所求的动点p的轨迹方程为：
2.设f1、 f2是椭圆的两焦点，q是椭圆上的任意一点，从f1引∠f1qf2的外角平分线的垂线，垂足为p,求点p的轨迹方程。 [
3.已知⊙c1:⊙c2:,动圆p与⊙c1外切，与⊙c2内切。求动点p的轨迹方程。 [
4.在⊙b:内有一点a(-3,0),过a作与⊙b内切的圆c,求其圆心的轨迹方程。
四、中点弦问题。
1.椭圆的弦ab的中点为m,则ab的斜率与om的斜率之积为；
2．已知椭圆。
1） 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；[在椭圆内的部分]
2） 过点m(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨迹方程；[在椭圆内的部分]
3） 求过点m（）且被m点平分的弦所在的直线方程；
3．已知半椭圆与半椭圆。
组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。
1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
2）若，求的取值范围；
3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。
解：（1），于是，所求“果圆”方程为 ，
2）由题意，得 ，即．得． 又。
（3）设“果圆”的方程为，．
记平行弦的斜率为．
当时，直线与半椭圆的交点是。
与半椭圆的交点是．
的中点满足得． ，
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当时，以为斜率过的直线与半椭圆。
的交点是．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．
当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
五、最值问题。
1.椭圆的左焦点为f,m为其上的动点， a(m,n)为椭圆内的定点，求的最大值和最小值。
解：，利用求最值的方法求得当点m与点p重合时，的最大值为，的最小值为。
2．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点。
1）求该椭圆的标准方程；
2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。
解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为。
2)设线段pa的中点为m(x,y) ,点p的坐标是(x0,y0),由，点p在椭圆上，得，
线段pa中点m的轨迹方程是。
3)当直线bc垂直于x轴时，bc=2,因此△abc的面积s△abc=1.
当直线bc不垂直于x轴时，说该直线方程为y=kx,代入，解得b(,)c(－,则，又点a到直线bc的距离d=,△abc的面积s△abc=
于是s△abc=
由≥－1,得s△abc≤,其中，当k=－时，等号成立。
s△abc的最大值是。
3．如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于a、b两点，记△aob的面积为s．
1）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，s的最大值；
2)当｜ab｜＝2，s＝1时，求直线ab的方程．
1)解：设点a的坐标为(，点b的坐标为，由，解得。
所以。当且仅当时，．s取到最大值1．
2）解：由得。
ab又因为o到ab的距离所以 ③
代入②并整理，得。
解得，，代入①式检验，△＞0
故直线ab的方程是
或或或．4.设椭圆方程为，1）过顶点b（0，2）作一弦bp，求弦bp的最大值；
2）求椭圆上动点到定点a（a，0）(0（1）解：设点p的坐标为（x，y），，
当时，。2）设椭圆上的动点为p（x，y），=
当时，当时，
当时，函数在上单调递减，所以当时，
5.求椭圆上的点到直线的距离的最小值。
解：设与直线平行的直线方程为， ，两个平行直线之间的距离为，所以椭圆上的点到直线的距离的最小值为。
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