椭圆（2）
五、 椭圆的通径和焦点三角形。
1、七点两线：一个中心、两个焦点、四个顶点和两条对称轴，任意两个元素之间的距离。
1、椭圆中通径定义。
2、椭圆中通径长度公式：
3、焦点三角形的面积公式：如图：
练习：1、若椭圆上存在点p，使得点p到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )
abc．(，1d．[，1)
2、 (2013·攀枝花模拟)椭圆＋y2＝1的两个焦点为f1，f2，过f1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为p，则||＝a. b. c. d．4
3、在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率为。过f1的直线l交c于a，b两点，且△abf2的周长为16，那么c的方程为___
4．(2013·高考大纲全国卷)已知f1(－1,0)，f2(1,0)是椭圆c的两个焦点，过f2且垂直于x轴的直线交c于a，b两点，且|ab|＝3，则c的方程为( )
a.＋y2＝1 b.＋＝1 c.＋＝1 d.＋＝1
5、(2013·高考天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为f，离心率为，过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为。求椭圆的方程；
6、(2013·高考四川卷)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点p向x轴作垂线，垂足恰为左焦点f1，a是椭圆与x轴正半轴的交点，b是椭圆与y轴正半轴的交点，且ab∥op(o是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
a. b. c. d.
快速练习：1点p是椭圆+=1上一点，以点p以及焦点f1、f2为顶点的三角形的面积等于1,则点p的坐标为。
2、（08年浙江卷）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于a、b两点若，则。
六、 椭圆和直线位置关系。
1、点与椭圆的位置关系：
1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；
3）点在椭圆内。
2、直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1 (a>b>0)的位置关系：
直线与椭圆相切有___组实数解，即δ__0.直线与椭圆相交有___组实数解，即δ__0，直线与椭圆相离___实数解，即δ__0.
练习：7．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
8、（2010·湖北高考)已知椭圆c：＋y2＝1的两焦点为f1，f2，点p(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|pf1|＋|pf2|的取值范围为___直线＋y0y＝1与椭圆c的公共点个数为___
七、 弦长公式。
若直线ab:与椭圆标准方程： 相交于两点、，把ab所在直线方程y=kx+b，代入椭圆方程整理得：ax2+bx+c=0。
弦长公式： ①含x的方程）
含y的方程）
练习：9、已知：椭圆c:＋＝1求过点(3,0)且斜率为的直线被c所截线段的长度．
10、【2014高考辽宁文第20题】圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为p（如图）.（求点p的坐标；（ⅱ焦点在x轴上的椭圆c过点p，且与直线交于a，b两点，若的面积为2，求c的标准方程。
八、 中点弦。
知识点：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
练习：11、过椭圆＋＝1内的一点p(2，－1)的弦，恰好被p点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
a．5x－3y－13＝0b．5x＋3y－13＝0 c．5x－3y＋13＝0d．5x＋3y＋13＝0
快速练习：已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．
12、(2013·高考新课标全国卷ⅰ)已知椭圆e：＋＝1(a>b>0)的右焦点为f(3,0)，过点f的直线交e于a，b两点．若ab的中点坐标为(1，－1)，则e的方程为( )
a.＋＝1 b.＋＝1c.＋＝1 d.＋＝1
快速练习：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
椭圆（2）九、 椭圆的通径和焦点三角形。
1、七点两线：任意两个元素之间的距离。
1、椭圆中通径定义：
2、椭圆中通径长度公式：
3、焦点三角形的面积公式：如图：
练习：1、若椭圆上存在点p，使得点p到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )
abc．(，1d．[，1)
解析：设p到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥.
答案：d2、 (2013·攀枝花模拟)椭圆＋y2＝1的两个焦点为f1，f2，过f1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为p，则||＝a. b. c. d．4
解析】 由题设知a＝2，b＝1，c＝，不妨设f1为左焦点，p在x轴上方，则f1(－，0)，设p(－，m)，(m＞0)，则＋m2＝1，解得m＝.
|pf1|＝，根据椭圆定义：|pf1|＋|pf2|＝2a.
pf2|＝2a－|pf1|＝22－＝，即||＝
答案】 a3、在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率为。过f1的直线l交c于a，b两点，且△abf2的周长为16，那么c的方程为___
解析】 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为ab过f1且a、b在椭圆上，则△abf2的周长为|ab|＋|af2|＋|bf2|＝|af1|＋|af2|＋|bf1|＋|bf2|＝4a＝16.
a＝4.由e＝＝，得c＝2，则b2＝8，椭圆的方程为＋＝1.
答案】 ＋1
4．(2013·高考大纲全国卷)已知f1(－1,0)，f2(1,0)是椭圆c的两个焦点，过f2且垂直于x轴的直线交c于a，b两点，且|ab|＝3，则c的方程为( )
a.＋y2＝1 b.＋＝1
c.＋＝1 d.＋＝1
解析：选c.由题意知椭圆焦点在x轴上，且c＝1，可设c的方程为＋＝1(a>1)，由过f2且垂直于x轴的直线被c截得的弦长|ab|＝3，知点(1，)必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝(舍去)．故椭圆c的方程为＋＝1.
5、(2013·高考天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为f，离心率为，过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为。求椭圆的方程；
解：(1)设f(－c,0)，由＝，知a＝c.
过点f且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝.
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
6、(2013·高考四川卷)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点p向x轴作垂线，垂足恰为左焦点f1，a是椭圆与x轴正半轴的交点，b是椭圆与y轴正半轴的交点，且ab∥op(o是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
a. b.
c. d.
解析：选c.设p(－c，y0)，代入椭圆方程求得y0，从而求得kop，由kop＝kab及e＝可得离心率e.
由题意设p(－c，y0)，将p(－c，y0)代入＋＝1，得＋＝1，则y＝b2＝b2·＝.
y0＝或y0＝－(舍去)，∴p，∴kop＝－.
a(a,0)，b(0，b)，∴kab＝＝－
又∵ab∥op，∴kab＝kop，∴－b＝c.
e＝＝＝故选c.
练习：1点p是椭圆+=1上一点，以点p以及焦点f1、f2为顶点的三角形的面积等于1,则点p的坐标为．
2、（08年浙江卷）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于a、b两点若，则= 8 ．
一十、 椭圆和直线位置关系。
1、点与椭圆的位置关系：
1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；
3）点在椭圆内。
2、直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1 (a>b>0)的位置关系：
直线与椭圆相切有___组实数解，即δ__0.直线与椭圆相交有___组实数解，即δ__0，直线与椭圆相离___实数解，即δ__0.
练习：7．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
11．解 (1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，所以δ＝4m2－20(m2－1)≥0.
解得－≤m≤.
8、（2010·湖北高考)已知椭圆c：＋y2＝1的两焦点为f1，f2，点p(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|pf1|＋|pf2|的取值范围为___直线＋y0y＝1与椭圆c的公共点个数为___
解析：依题意得点p位于椭圆c的内部(异于原点o)，因此有|f1f2|≤|pf1|＋|pf2|＜2a，即2≤|pf1|＋|pf1|＜2，2≤|pf1|＋|pf2|＜2，|pf1|＋|pf2|的取值范围是[2,2)；依题意，可考虑取特殊点p(－1,0)，相应的直线为x＝－2，显然该直线与椭圆没有公共点，即直线＋y0y＝1与椭圆的公共点的个数为0.
答案：[2,2 ) 0
一十一、 弦长公式。
若直线ab:与椭圆标准方程： 相交于两点、，把ab所在直线方程y=kx+b，代入椭圆方程整理得：ax2+bx+c=0。
弦长公式： ①含x的方程）
含y的方程）
练习：9、已知：椭圆c:＋＝1求过点(3,0)且斜率为的直线被c所截线段的长度．
过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与c的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入c的方程，得。
＝1，即x2－3x－8＝0.
x1＝，x2＝.
线段ab的长度为|ab|＝
10、【2014高考辽宁文第20题】圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为p（如图）.（求点p的坐标；
ⅱ）焦点在x轴上的椭圆c过点p，且与直线交于a，b两点，若的面积为2，求c的标准方程。
答案】（ⅰ解析】
试题分析：（ⅰ首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，．从而所求的方程为．
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