椭圆。一、直线与椭圆问题的常规解题方法:
1.设直线与方程;(提醒:设直线时分斜率存在与不存在;设为y=kx+b与x=my+n
的区别)2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)
3.联立方程组;
4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)
5.根据条件重转化;常有以下类型:
“以弦ab为直径的圆过点0”(提醒:需讨论k是否存在)
“点在圆内、圆上、圆外问题”
直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”
等角、角平分、角互补问题”斜率关系(或);
共线问题”如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法);
如:a、o、b三点共线直线oa与ob斜率相等);
“点、线对称问题”坐标与斜率关系;
“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的。
合理选择);
6.化简与计算;
7.细节问题不忽略;
判别式是否已经考虑;抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.
二、基本解题思想:
1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;
2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;
3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无
关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求。
出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法**化为二次函数的最值)、
三角代换法**化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等
式的方法等再解决;
6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;
椭圆中的定值、定点问题。
一、常见基本题型:
在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的。
(1)直线恒过定点问题。
1、已知点是椭圆上任意一点,直线的方程为, 直线过p点与直线垂直,点m(-1,0)关于直线的对称点为n,直线pn恒过一定点g,求点g的坐标。
2、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,是椭圆在第一象限弧上一点,且,过p作关于直线f1p对称的两条直线pa、pb分别交椭圆于a、b两点。(1)求p点坐标;(2)求证直线ab的斜率为定值;
3、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 , 求证:为定值。
4、 在平面直角坐标系中,已知椭圆。如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为, 射线交椭圆于点,交直线于点。(ⅰ求的最小值;(ⅱ若·,求证:直线过定点;
椭圆中的取值范围问题。
一、常见基本题型:
对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解。
(1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围。
5、已知直线与轴交于点,与椭圆交于相异两点a、b, 且,求的取值范围.
2)利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围。
6、已知点,,若动点满足.
求动点的轨迹的方程;
设过点的直线交轨迹于,两点,若,求直线的斜率的取值范围。
3)利用基本不等式求参数的取值范围。
7、已知点为椭圆:上的一动点,点的坐标为,求的取值范围.
8.已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上。若右焦点到直线的距离为3.(1)求椭圆的方程。
2)设直线与椭圆相交于不同的两点。当时,求的取值范围。
9.如图所示,已知圆为圆上一动点,点在上, 点在上,且满足的轨迹为曲线。
(i)求曲线的方程;
(ii)若过定点f(0,2)的直线交曲线于不同的两。
点(点在点之间),且满足,求的取值范围。
10、.已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为、,一个顶点为。
1)求椭圆的标准方程;
2)对于轴上的点,椭圆上存在点,使得,求的取值范围。
11.已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
ⅰ)求椭圆的方程;
ⅱ)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(o为坐标原点),当<时,求实数取值范围.
椭圆中的最值问题。
一、常见基本题型:
1)利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,是椭圆在第一象限弧上一点,且,过p作关于直线f1p对称的两条直线pa、pb分别交椭圆于a、b两点,求△pab面积的最大值。
2)利用函数求最值,13.如图,轴,点m在dp的延长线上,且.当点p在圆上运动时。
i)求点m的轨迹c的方程;
ⅱ)过点的切线交曲线 c于a,b两点,求△aob面积s的最大值和相应的点t的坐标。
14、已知椭圆。过点作圆的切线交椭圆g于a,b两点。
将|ab|表示为m的函数,并求|ab|的最大值。
选做。1、已知a、b、c是椭圆上的三点,其中点a的坐标为 ,bc过椭圆m的中心,且。
1)求椭圆的方程;
2)过点的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点p,q,设d为椭圆m与y 轴负半轴的交点,且。求实数t的取值范围.
2.已知圆:及定点,点是圆上的动点,点在上,点在上,且满足=2,·=
1)若,求点的轨迹的方程;
2)若动圆和(1)中所求轨迹相交于不同两点,是否存在一组正实数, 使得直线垂直平分线段,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由.
3、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.
ⅰ)求椭圆的标准方程;
ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标。
4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点m
2,1),平行于om的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),l交椭圆于a、b两个不同点。
1)求椭圆的方程; (2)求m的取值范围; (3)求证直线ma、mb与x轴始终围成一个等腰三角形。
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