椭圆。1．（2013哈尔滨质检）设、分别是椭圆的左、右焦点，是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的横坐标为（ ）
a．1bcd.
答案】d解析】∵，设，∵，即， ∴
又 ∵，解得，∵，
2．（2013莱芜质检）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则最小值为（ ）
abcd．
答案】a 解析】由已知可得，设，则。
∵，时，取得最小值．
3．（2013烟台质检）设、为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交、两点，当四边形面积最大时，的值等于（ ）
abcd．答案】c
解析】∵面积。
当且仅当、为椭圆短轴上两端点时等号成立，不妨设的坐标为，．
4．（2013佛山二模）已知直线：与椭圆：交于两点，为椭圆的点，则使的面积为的点的个数为（ ）
a． b． c． d．
答案】 c解析】∵，点到直线的距离，设过点的直线方程为，直线和直线的距离，，解得或，当时，由，得，，∴有两解．
当时，由，得，，∴无解．
5．（2013上海闸北质检）椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．
1）求证：；
2）若直线的斜率为1，且点在椭圆上，求椭圆的方程．
解析】（1）由题设，得，
由椭圆定义，．
2）由点在椭圆上，可设椭圆的方程为，设，由，得，（*
则， 解得，椭圆的方程为．
6．已知、分别是椭圆的左右两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点为线段的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于，求的值．
解析】（1）∵点为线段的中点，是的中位线，又，∴，解得，椭圆的标准方程为。
（2）∵点在椭圆上，、是椭圆的两个焦点，在，由正弦定理，，
7．（2013北京石景山一模）已知椭圆（）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为．
1）求椭圆的方程；
2）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若线段的长为，求直线的方程．
解析】（1）由题意得，解得．
椭圆方程为．
（2）当直线与轴垂直时，此时不符合题意故舍掉；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，得．
设，则， ，
由， 直线，或．
8． (2013揭阳联考) 如图，在中，，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点。
1）求椭圆的标准方程；
2）过椭圆的右顶点作直线与圆相交于、两点，试**点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由。
解析】（1）∵，
，∴又，∴，椭圆的标准方程为
2）椭圆的右顶点，圆圆心为，半径。
假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，则，圆心到直线的距离。
当直线斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离（符合），当直线斜率存在时，设的方程为，即，圆心到直线的距离。
无解。 综上：点m、n能将圆分割成弧长比值为。
的两段弧，此时方程为。
9．（2013陕西高考）设椭圆：过点，离心率为．
1）求的方程；
2）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．
解析】（1）将点代入的方程得， ∴又得，即， ，的方程为。
2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，，，即，
的中点坐标，所截线段的中点坐标为．
10．已知椭圆过点，且离心率。
1）求椭圆的方程；
2）若直线与该椭圆有两个交点，当线段的中点在直线上时，求的取值范围。
解析】（1）依题意： ∴由，得。
∴所求椭圆方程为。
2）由，得。
∵直线与椭圆有两个不同的交点，设坐标分别为，
线段的中点在直线上，，即，
∴代入（*）
得：， 或。
的取值范围是．
11．（2013陕西高考）已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．
1）求椭圆的方程；
2）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程．
解析】（1）由已知可设椭圆的方程为，椭圆和椭圆的离心率为，∴，解得．
椭圆的方程为．
（2）设两点的坐标分别为，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，可设直线的方程的方程为．
椭圆的方程为，由，得，由，得，由，得，即，解得，∴直线的方程为或．
12．（2013西城二模）已知椭圆的离心率为，且经过点．
1）求椭圆的方程；
2）过点的直线交椭圆于，两点，求（为原点）面积的最大值．
解析】（1）由，得。
由椭圆经过点，得。
联立① ②解得，．
椭圆的方程是．
2）易知直线的斜率存在，设其方程为．
将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得．
令，得．设，，则。
∴． 设，则。
当且仅当，即时等号成立，此时面积取得最大值．
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