专题训练37 椭圆。
一、选择题。
1．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m＝(
a．4b．5c．7d．8
2．(2011·山东淄博重点中学高三期中考试)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆方程为( )
a.＋＝1 b.＋＝1
c.＋＝1d.＋＝1
3．若点p是以f1，f2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，且·＝0，tan∠pf1f2＝，则此椭圆的离心率e＝(
abcd.
4．已知f1，f2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，过f2作椭圆的弦ab，若△af1b的周长为16，椭圆的离心率为，则椭圆的方程是( )
a.＋＝1 b.＋＝1
c.＋＝1 d.＋＝1
5．直线l交椭圆＋＝1于a，b两点，ab中点m的坐标是(2,1)，则直线l的方程为( )
a．2x－3y－1＝0b．3x－2y－4＝0
c．2x＋3y－7＝0d．3x＋2y－8＝0
6．(2010·福建高考)若点o和点f分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
a．2b．3c．6d．8
7．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为f(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点p(x1，x2)(
a．必在圆x2＋y2＝2内b．必在圆x2＋y2＝2上。
c．必在圆x2＋y2＝2外d．以上三种情形都有可能。
二、填空题。
8．与椭圆＋＝1共焦点，且过点m(3，－2)的椭圆方程为。
9．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设p为该椭圆上的动点，c，d的坐标分别是(－，0)，(0)，则|pc|·|pd|的最大值为。
10．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于a，b两点，设o为坐标原点，则。
三、解答题。
11．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标．
12．(2010·福建高考)已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点a(2,3)，且点f(2,0)为其右焦点．
1)求椭圆c的方程；
2)是否存在平行于oa的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oa与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
参***。1. 答案：d
解析：由题意得，椭圆焦点在y轴上，a2＝m－2，b2＝10－m.
又∵c＝2，∴m－2－(10－m)＝22＝4.∴m＝8.
2. 答案：d
3. 答案：a
解析：由·＝0得⊥.
则tan∠pf1f2＝＝.
设|pf2|＝m，则|pf1|＝2m，|f1f2|＝m.
所以e＝＝＝
4. 答案：d
解析：由题意可知，4a＝16，a＝4.
又∵e＝＝，c＝2，b2＝a2－c2＝16－12＝4.
所求椭圆的方程为＋＝1.
5. 答案：d
解析：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则。
－②，得＋＝0.
m(2,1)，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
代入上式得＝－.
l的方程为y－1＝－(x－2)，即3x＋2y－8＝0.
6. 答案：c
解析：由题意得f(－1,0)，设点p(x0，y0)，则y＝3(1－)(2≤x0≤2)，＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3(1－)＝x0＋2)2＋2，当x0＝2时，·取得最大值为6.
7. 答案：a
解析：∵e＝，∴a2＝b2＋c2，∴b2＝a2.
x1＋x2＝－，x1·x2＝－，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝＝＜2.
p点在圆x2＋y2＝2内．
8. 答案：＋＝1
解析：∵c2＝9－4＝5，设所求椭圆方程为＋＝1，将(3，－2)代入得a2＝15，或a2＝3(舍去)．
9. 答案：4
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，c2＝a2－b2.由正方形的对角线性质可得：
b＝c，又该正方形面积为4，则4××b2＝4，所以b＝c＝，则c，d即为椭圆的焦点，所以|pc|·|pd|≤＝4.
10. 答案：－
解析：设直线l经过椭圆＋y2＝1的右焦点(1,0)，则直线l的方程为y＝x－1，由得3x2－4x＝0，解得x＝0，或x＝，不妨令a(0，－1)，b(，)
11. 解：∵椭圆方程可化为＋＝1，∴m＞0.
又∵m－＝＞0，m＞.∴a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，∴m＝1.
椭圆的方程为x2＋＝1，a＝1，b＝，c＝.
椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝2和2b＝1，两个焦点坐标分别是f1(－，0)，f2(，0)，顶点a1(－1，0)，a2(1,0)，b1(0，－)b2(0，)．
12. 解法一：(1)依题意，可设椭圆c的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知左焦点为f′(－2,0)，从而有。
解得。又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝12.
故椭圆c的方程为＋＝1.
2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝x＋t.
由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭。
圆c有公共点，所以δ＝(3t)2－4×3(t2－12)≥0.解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线oa与l的距离d＝4可得＝4，从而t＝±2.
由于±2 [－4，4]，所以符合题意的直线l不存在．
解法二：(1)依题意，可设椭圆c的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且有解得b2＝12，或b2＝－3(舍去)．
从而a2＝16.所以椭圆c的方程为＋＝1.
2)同解法一。
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