[例1] 已知动圆p过定点a(－3,0)，并且在定圆b：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心p的轨迹方程为。
分析：相切两圆连心线必过两圆的切点，设切点为m，则b、p、m三点共线，∴|pb|＋|pm|＝|bm|＝8，又a在⊙p上，∴|pa|＝|pm|，从而|pb|＋|pa|＝8.
已知f1、f2为椭圆 ＝1的两个焦点，过f1的直线交椭圆于a、b两点．若|f2a|＋|f2b|＝12，则|ab
解析：(|af1|＋|af2|)＋bf1|＋|bf2|)＝ab|＋|af2|＋|bf2|＝4a＝20，∴|ab|＝8.
答案：8例2] 设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若△f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
abc．2d.－1
解析：由已知得：＝2c，∴b2＝2ac
即a2－c2＝2ac变形为e2＋2e－1＝0
解得e＝－1，故选d.
3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
a. b. c. d.
解析：由题意得：4b＝2(a＋c)4b2＝(a＋c)23a2－2ac－5c2＝05e2＋2e－3＝0(两边都除以a2)e＝ 或e＝－1(舍)，故选b.
答案：b4.已知椭圆e的短轴长为6，焦点f到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆e的离心率等于( )
ab. cd.
解析：设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，故，∴，e＝＝.
5.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
a．1 b. c．2 d．2
解析：设椭圆＋＝1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，s＝×2c×b＝bc＝1≤＝.
a2≥2.a≥.∴长轴长2a≥2，故选d.
椭圆＋＝1上的一点p到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点p的坐标是___
解析：设椭圆上点p到两焦点的距离分别为u、v，则u＋v＝10，uv＝m；设∠f1pf2＝θ，由余弦定理可知cosθ＝，即u2＋v2－2uvcosθ＝64m＝，显然，当p与a或b重合时，m最大．
答案：(－3,0)或(3,0)
6、若点o和点f分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
a．2 b．3 c．6 d．8
分析：由条件知o(0,0)，f(－1,0)，·的值随p点在椭圆上位置的变化而变化，故可设p(x，y)利用椭圆方程将y用x表示，则·是关于x的函数(其中－2≤x≤2)，求函数的最值可获解．
7、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为f，右顶点为a，点b在椭圆上，且bf⊥x轴，直线ab交y轴于点p，若＝2，则椭圆的离心率是( )
a. b. c. d.
解析：由题意知：f(－c,0)，a(a,0)．
bf⊥x轴，∴＝又∵＝2，＝2，∴e＝＝.故选d.
8、f2是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点p在椭圆上运动，则|·|的最大值是( )
a．4b．5 c．2d．1
解析：解法一：设p(x，y)，∵f1(－，0)，f2(，0)，·x，－y)·(x，－y)＝x2－3＋y2.
x2－3＋1－＝x2－2
－2≤x≤2，∴－2≤x2－2≤1
|·|max＝2.
解法二：设p(2cosθ，sinθ)，依题意得点f1(－，0)，f2(，0)，·2cosθ)(2cosθ)＝4cos2θ＋sin2θ－3＝3cos2θ－2，，因为－2≤3cos2θ－2≤1，所以|·|的最大值是2，选c.
练习。一、选择题。
1．若椭圆＋＝1的离心率为，则m＝(
abcd.或。
解析] 焦点在x轴上时，e＝＝，解得m＝，焦点在y轴上时，＝，m＝，故选d
2、椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m的值为( )
a．2或b．2c.或4d.
解析] ∵x2＋my2＝1，即x2＋＝1是椭圆，∴m>0.
当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝，c2＝a2－b2＝1－>0，此时m>1，由e＝＝＝m＝4；
当焦点在y轴上时，a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1，此时0由e＝＝＝m＝.故选c.
3、若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1、f2，线段f1f2被抛物线y2＝2bx的焦点f分成3 1两段，则此椭圆的离心率为( )
abcd.
解析] 椭圆中c2＝a2－b2，焦距2c＝2，抛物线的焦点f，由题意知|f1f|＝3|ff2|，∴f1f2|＝4|ff2|，c＝2|ff2|，即c＝2，∴c＝b，c2＝a2－c2，∴e＝.
4、(2010·安徽皖北联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1，f2，过f1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为p，且pf2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为( )
a. b. c. d.
解析] 据已知可得|pf2|＝，在直角三角形pf1f2中可得|pf1|＝2|pf2|＝，由椭圆定义可得|pf1|＋|pf2|＝＝2a＝，则椭圆离心率e＝＝＝
5、(2010·浙江台州)已知点m(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点a、b，则△abm的周长为( )
a．4b．8
c．12d．16
解析] 直线y＝k(x＋)过定点n(－，0)，而m、n恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△abm的周长为4a＝4×2＝8.
二、解答题。
6、(2010·新课标全国文)设f1、f2分别是椭圆e：＋＝1(0(1)求|ab|；
2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解析] (1)由椭圆定义知|af2|＋|ab|＋|bf2|＝4，又2|ab|＝|af2|＋|bf2|，得|ab|＝.
2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a，b两点坐标满足方程组。
消去y整理得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线ab的斜率为1，所以|ab|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2
解得b＝.
椭圆 附答案
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