1、的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．
2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．
解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．
2）设，，则． ①
由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．
2 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．
从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，可求出，，从而．
所求椭圆方程为或。
3、已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点p满足的关系式．
解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
4、已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则。
1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为： ．
将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．
2）将代入⑤得所求轨迹方程为椭圆内部分）
3）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．椭圆内部分）
4）由①＋②得将③④平方并整理得。
将⑧⑨代入⑦得。
再将代入⑩式得即 ．
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
5、 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
解：如图所示，椭圆的焦点为，．
点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．
解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．
所求椭圆的长轴：，∴又，．因此，所求椭圆的方程为．
6、 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹．
分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．
解：设点的坐标为，点的坐标为，则，．
因为在圆上，所以．
将，代入方程得．所以点的轨迹是一个椭圆．
7、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
因为，，所以．因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．
由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，，从而．
法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
由题意可知椭圆方程为，设，，则，．
在中，，即；
所以．同理在中，用余弦定理得，所以．
法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．
再根据焦半径，，从而求出
8、 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．
分析：若设椭圆上，两点关于直线对称，则已知条件等价于：(1)直线；(2)弦的中点在上．
利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围．
解：(法1)设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点．
的斜率，∴设直线的方程为．由方程组消去得。
①。∴于是，即点的坐标为．∵点在直线上，∴．解得． ②
将式②代入式①得 ③，是椭圆上的两点，∴．解得．
法2)同解法1得出，∴，即点坐标为．，为椭圆上的两点，∴点在椭圆的内部，∴．解得．
法3)设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为．，在椭圆上，∴，两式相减得，即．∴．
又∵直线，∴，即 ①。
又点在直线上，∴ 由①，②得点的坐标为．以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：
1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程．
2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式．
9、已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或)，得到关于 (或)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出， (或，)的值代入计算即得．
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
解：方法一：设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得。
设直线与椭圆的交点为，，则、是①的两根，∴
为中点，∴，所求直线方程为．
方法二：设直线与椭圆交点，．∵为中点，∴，
又∵，在椭圆上，∴，两式相减得，即．∴．直线方程为．
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点．
、在椭圆上。
从而，在方程①－②的图形上，而过、的直线只有一条，∴直线方程为．
10、设椭圆c：的左焦点为f，过点f的直线与椭圆c相交于a，b两点，直线l的倾斜角为60o,.
i) 求椭圆c的离心率；
ii) 如果|ab|=，求椭圆c的方程。
解：设，由题意知＜0，＞0.
ⅰ）直线l的方程为 ，其中。
联立得。解得。
因为，所以。
即 得离心率。
ⅱ）因为，所以。
由得。所以，得a=3，.
椭圆c的方程为。
11、 在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（-1,1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于。
ⅰ)求动点p的轨迹方程；
ⅱ)设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m,n，问：是否存在点p使得△pab与△pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由。
i）解：因为点b与a关于原点对称，所以点得坐标为。
设点的坐标为。
则直线的方程为，直线的方程为。
令得，.于是得面积。
又直线的方程为，点到直线的距离。
于是的面积。
当时，得。又，所以=，解得。
因为，所以。
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为。
解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为。
则。因为， 所以。
由题意得化简得 .
故动点的轨迹方程为。
ii）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为，.
所以即 ，解得因为，所以故存在点s使得与的面积相等，此时点的坐标为。
12、（ⅰ解：由e=，得。再由，解得a=2b.
由题意可知，即ab=2.
解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为。
ⅱ)(i)解：由（ⅰ）可知点a的坐标是（-2,0）.设点b的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.
于是a、b两点的坐标满足方程组消去y并整理，得。
由，得。从而。
所以。由，得。
整理得，即，解得k=.
所以直线l的倾斜角为或。
ii）解：设线段ab的中点为m，由（i）得到m的坐标为。
以下分两种情况：
1）当k=0时，点b的坐标是（2,0），线段ab的垂直平分线为y轴，于是。
由，得。2）当时，线段ab的垂直平分线方程为。
令，解得。由，整理得。故。所以。
综上，或。
椭圆练习答案
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椭圆专项练习大题答案
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