1.已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．
ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；
ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．
解：（ⅰ因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．
设两点坐标分别为．
由得．所以．
又因为边上的高等于原点到直线的距离．
所以，．ⅱ）设所在直线的方程为，由得．
因为在椭圆上，所以．
设两点坐标分别为，则，所以．
又因为的长等于点到直线的距离，即．
所以．所以当时，边最长，（这时）
此时所在直线的方程为．
2.如图，椭圆：的一个焦点为f（1，0），且过点．
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）若为垂直于轴的动弦，直线：与轴交。
于点，直线与交于点．
ⅰ）求证：点恒在椭圆上；
ⅱ）求面积的最大值．
ⅰ）由题设，，从而．
所以椭圆的方程为．
ⅱ）（由题意得，设，则，．…
与的方程分别为：，设，则有。
由②，③得。
由于。所以点恒在椭圆上．
ⅱ）设的方程为，代入得．
设，，则有：，．
令，则。因为，，所以当，即，时，有最大值，此时过点．
的面积有最大值．
3.设椭圆中心在坐标原点，a(2,0)、b(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与ab相交于点d，与椭圆相交于e、f两点。
ⅰ)若=6，求k的值；
ⅱ)求四边形aebf面积的最大值。
22．（ⅰ解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，． 2分。
如图，设，其中，且满足方程，故．①
由知，得；由在上知，得．
所以，化简得，解得或． 6分。
ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为， 9分。
又，所以四边形的面积为。
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分。
解法二：由题设，，．
设，，由①得，故四边形的面积为。
9分。当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分。
4.已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
ⅰ）求椭圆的标准方程；（ⅱ设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．
1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．
动时，求点的轨迹方程；
22．解：（ⅰ由题意得。
又，解得，．
因此所求椭圆的标准方程为．
ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，解方程组得，所以．
设，由题意知，所以，即，因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，因此，又，所以，故．
又当或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，的轨迹方程为．
2）当存在且时，由（1）得，由解得，所以，，．
解法一：由于。
当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．
当，．当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
解法二：因为，又，当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．
当，．当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
9.已知椭圆c: =1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为。
ⅰ)求椭圆c的方程；
ⅱ)设直线l与椭圆c交于a、b两点，坐标原点o到直线l的距离为，求△aob面积的最大值。
解：（ⅰ设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．
ⅱ）设，．1）当轴时，．
2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，．
当且仅当，即时等号成立．
当时，， 综上所述．
当最大时，面积取最大值．
07天津（22）（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
ⅰ）证明；（ⅱ求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．
ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中。
由于点在椭圆上，有，解得，从而得到，直线的方程为，整理得。
由题设，原点到直线的距离为，即，将代入原式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为，过点作，垂足为，易知，故。
由椭圆定义得，又，所以。
解得，而，得，即．
ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组。
的解．当时，由①式得。
代入②式，得，即。
于是， 若，则．
所以，．由，得．在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出，从而．
综上所述，使得所述命题成立．
10.设、分别是椭圆的左、右焦点．
ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；
ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．
ⅰ），设．则。
又，联立，解得，．
ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立， 由，得．①
又为锐角，∴ 又。
综①②可知，∴的取值范围是．
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