椭圆。时间：45分钟分值：100分)
一、选择题。
1. [2013·海淀模拟]2a. 充分不必要条件。
b. 必要不充分条件。
c. 充要条件。
d. 既不充分也不必要条件。
答案：b解析：若＋＝1表示椭圆，则有。
2故22. [2013·汕头检测]已知椭圆＋＝1，f1、f2分别为其左、右焦点，椭圆上一点m到f1的距离是2，n是mf1的中点，则|on|的长为( )
a. 1b. 2
c. 3 d. 4
答案：d解析：由题意知，|mf2|＝10－|mf1|＝8，on是△mf1f2的中位线，所以|on|＝|mf2|＝4.
3. [2013·韶关调研]椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
a. b.
c. 2 d. 4
答案：a解析：将原方程变形为x2＋＝1，由题意知a2＝，b2＝1，a＝，b＝1.∴＝2，∴m＝.
故应选a.4. 已知椭圆＋y2＝1，f1，f2为其两焦点，p为椭圆上任一点．则|pf1|·|pf2|的最大值为( )
a. 6 b. 4
c. 2 d. 8
答案：b解析：设|pf1|＝m，|pf2|＝n，则m＋n＝2a＝4，|pf1|·|pf2|＝mn≤()2＝4(当且仅当m＝n＝2时，等号成立)．故选b.
5．[2013·湖南郴州]设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈(，1)，则实数k的取值范围是( )
a．(0,3) b．(3，)
c．(0,3d．(0,2)
答案：c解析：当k>4时，c＝，由条件知<<1，解得k>；
当0由条件知<<1，解得06. [2013·福建调研]若点o和点f分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
a. 2 b. 3
c. 6 d. 8
答案：c解析：由椭圆方程得f(－1,0)，设p(x0，y0)，则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
p为椭圆上一点，∴＋1.
·＝x＋x0＋3(1－)
＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
－2≤x0≤2，·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
二、填空题。
7. [2013·临汾模拟]椭圆＋y2＝1的弦被点(，)平分，则这条弦所在的直线方程是___
答案：2x＋4y－3＝0
解析：设该弦与椭圆相交于点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则由点(，)平分弦ab可得x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，再将点a(x1，y1)，b(x2，y2)代入椭圆方程后作差可得kab＝－，然后根据点斜式方程可求得直线ab的方程为2x＋4y－3＝0.
8. [2013·上饶调研]已知f1、f2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，若椭圆上存在一点p使得∠f1pf2＝，则椭圆的离心率e的取值范围为___
答案：[，1)
解析：设椭圆的短轴的一个端点为b，则∠f1bf2≥，在△bf1f2中，sin∠obf2＝＝e≥sin＝，故≤e<1.
9. [2013·金版原创]已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为a，上顶点为b，右焦点为f.设线段ab的中点为m，若2·＋2≥0，则该椭圆离心率的取值范围为___
答案：(0，－1]
解析：由题意得a(－a,0)，b(0，b)，m(－，f(c,0)，则＝(－c＋，－c，－b)．
由2·＋2≥0可得c2＋2ac－2a2≤0，解得e∈[－1－，－1＋]．
又e∈(0,1)，所以椭圆的离心率的取值范围为(0，－1]．
三、解答题。
10. [2013·南宁联考]设椭圆c：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，点a是椭圆上的一点，且点a到椭圆c两焦点的距离之和为4.
1)求椭圆c的方程；
2)椭圆c上一动点p(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为p1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．
解：(1)依题意知，2a＝4，∴a＝2.
e＝＝，c＝，b＝＝.
所求椭圆c的方程为＋＝1.
2)∵点p(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为p1(x1，y1)，∴
解得x1＝，y1＝.
3x1－4y1＝－5x0.
点p(x0，y0)在椭圆c：＋＝1上，－2≤x0≤2，则－10≤－5x0≤10.
3x1－4y1的取值范围为[－10,10]．
11. [2013·深圳模拟]设a、b分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，(1，)为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．
1)求椭圆的方程；
2)设p(4，x)(x≠0)，若直线ap，bp分别与椭圆相交异于a，b的点m，n，求证：∠mbn为钝角．
1)解：依题意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2.
设椭圆方程为＋＝1，将(1，)代入，得c2＝1.
故椭圆方程为＋＝1.
2)证明：由(1)知，a(－2,0)，b(2,0)，设m(x0，y0)，则－2由p，a，m三点共线，得x＝，(x0－2，y0)，＝2，)，2x0－4＋
(2－x0)>0，即∠mbp为锐角，则∠mbn为钝角．
12. [2013·广雅中学模拟]如图所示，点p是椭圆＋＝1上的一点，f1和f2是焦点，且∠f1pf2＝30°，求△f1pf2的面积．
解：在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2.∴c＝＝1.
又∵点p在椭圆上，|pf1|＋|pf2|＝2a＝2.①
由余弦定理知。
pf1|2＋|pf2|2－2|pf1||pf2|cos30°
|f1f2|2＝(2c)2＝4.②
式两边平方得。
pf1|2＋|pf2|2＋2|pf1|·|pf2|＝20.③
－②得(2＋)|pf1|·|pf2|＝16.
|pf1|·|pf2|＝16(2－)．
s△pf1f2＝|pf1|·|pf2|sin30°＝8－4.
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