[松江二中2010届高三数学第一轮复习资料]
13.4 直线与椭圆。
复习要求】1、进一步巩固和熟练运用椭圆的定义、标准方程和几何性质；
2、判断直线与椭圆的位置关系，求解与椭圆有关的弦长问题；
3、能够运用“点差法”等方法较为灵活地解决有关问题。
知识要点】1、直线与椭圆的位置关系判断方法。
当时，直线与椭圆相交；
当时，直线与椭圆相切；
当时，直线与椭圆相离。
2、直线被椭圆截得的弦长公式。
基础训练】1、若直线和椭圆相交于两个不同点，则的取值范围是。
提示】联立方程组，由可得。
2、设且满足，则的取值范围为。
方法一：设，和椭圆联立消去可得。
由可解得。方法二：，即。
设，，所以。
所以。3、已知直线交椭圆于m、n，椭圆与y轴正半轴交点为b，若的重心与右焦点重合，则直线的方程为。
提示】因为是的重心，且，由。
可得线段的中点。
设，代入椭圆方程得。
两式相减得。
显然，所以。
又，代入可得，即。
4、直线3x + 4y – 12 = 0与椭圆相交于a , b两点，椭圆上的点p使△pab的面积等于12，这样的点p有 2 个。
提示】设点到直线的距离为，由得。
设与平行的直线方程为，由可得。
当时，：与椭圆交于两点；
当时，：，与椭圆无公共点。
典型例题】例1、已知椭圆及直线。
为何值时，直线与椭圆有公共点？
求直线被椭圆截得的最长弦所在的直线方程，并求弦长的最大值。
解：⑴由得。
由得 ⑵设直线与椭圆的公共点为。
则。因为，所以当时，此时直线。
变式：已知，若线段ab与椭圆有且只有一个公共点，求正数的取值范围。
解：据题意得点在椭圆内，点再椭圆外或上，或者线段与椭圆相切。所以或。
解得。例2、设椭圆c：。
设，若点p在椭圆c上，求的最小值；
若点p在椭圆c上，求点p到直线的距离的最大值。
解：(1)设p(x,y)，则。
2)方法一：设平行直线，联立方程组，利用，再结合图。
方法二：设椭圆上任意一点，答案：
例3、已知椭圆。
1）过椭圆的左焦点f引椭圆的割线，求截得的弦的中点p的轨迹方程；
2）求斜率为2的平行弦的中点q的轨迹方程；
3）求过点且被m平分的弦所在直线的方程。
解：设弦与椭圆两交点坐标分别为。
设。1)当时，p(-1,0);
当时， 两式相减得。
将，代入上式并化简得。
所以，点p的轨迹方程为。
2)设，在（1）中式子。
里，将，代入上式并化简得。
点的轨迹方程为（在椭圆内部分）。
3) 在（1）中式子。
里，将，代入上式可求得。
所求直线方程为，即。
代入椭圆方程检验，满足。
例4、设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点与椭圆的两个焦点f1、f2连线的所成的角为。若此椭圆与圆相交于a、b两点，且ab恰好是此圆的直径。
求：（1）直线ab的斜率；（2）椭圆的方程；（3）已知点和（）是此椭圆上的两点，则线段pq的垂直平分线是否经过点？并说明理由。
解：(1)由，设椭圆方程为。
即，设，所以。
相减得。因为的中点，所以，，代入得，所以。
2）将直线的方程即。
代入椭圆得。
由弦长公式得。
所以，所以椭圆方程为。
3）设，代入椭圆方程。
由点差法得。
设的中点为，则，代入得。
所以的中垂线斜率，由，解得。
所以不成立。
例5、设椭圆，其右焦点，椭圆经过点。
求椭圆的方程；
已知经过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：；
过点作两互相垂直的直线分别交椭圆于和，求的最小值。
解：⑴ 当时，由得。
利用弦长公式可得。
当，也成立，所以。
因为且，则。
所以，时，最小值是。
学后反思】巩固训练】
1、若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围是。
提示】直线过定点，由题意得。
点在椭圆上或椭圆内，所以。
2、已知椭圆，内接于椭圆的正方形面积为，内接于椭圆且有最大面积的矩形的面积为，则=
提示】在图（1）中由可得。
所以；在图（2）中，设为椭圆上在第一象限内任意一点，。
所以（时取等号）
3、斜率为1的直线与椭圆交于两点a、b，o是坐标原点，当面积最大时，求直线的方程。
解：设，代入椭圆整理得。
由得。由弦长公式可得，原点到直线的距离，所以面积。
当，即时面积取最大值。所以所求直线的方程为。
4、已知椭圆方程为，点在椭圆内，问是否存在直线经过点且所截得的弦被点平分？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由。
提示】点差法，参照例3的解法。
答案：存在为。
能力提升】已知椭圆和直线，在上取一点m，经过点m且以椭圆的焦点为焦点作另一个椭圆。问点m在何处所作椭圆的长轴最短？并求出此椭圆的方程。
解：设椭圆方程为。
由题意则得。
舍）经检验所求方程为。
方法二：设是关于直线的对称点，则。
当这三点共线时取等号。
1 1椭圆与直线
一 选择题 共3小题 1 2013淄博模拟 在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛 每两队之间赛两场 已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场的0分 积分多的前两名可出线 积分相等则要要比净胜球数或进球总数 赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 a 22 b 23 c 24 d 25 ...
直线和椭圆综合作业
班级姓名分数 1 直线y x 被椭圆x2 4y2 4截得的弦长为。2 椭圆内有一点p 2，1 经过p并且以p为中点的弦所在直线方。程为。3 椭圆和具有。a 相同的离心率 b 相同的焦点 c 相同的顶点 d 相同的长 短轴。4 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且 则 的面积为a b c d 5 设定点...
椭圆练习答案
1 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹 分析 1 由已知可得，再利用椭圆定义求解 2 由的轨迹方程 坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程 解 1 以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系 设点坐标为，由，知点的轨迹是以 为焦点的椭圆，且除去轴上两点 因，有，故其方程为...