第二章二次函数。
中考要求。1、了解二次函数的概念，能区分二次函数与一次函数即反比例函数，能用待定系数法求二次函数解析式。
2、了解三类二次函数图像之间的关系，能根据函数解析式的关系得到图像之间的平移关系，或根据图像间的关系确定函数解析式。
3、由函数解析式会确定其图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（最小）值、增减性等。
4、掌握二次函数图像的性质，能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。
5、学会确定二次函数解析式及其最值，能解决二次函数中的最值问题。
6、会利用二次函数的图像求相应二次方程的解或近似解。
7、会根据二次函数及图像性质，结合三角形、四边形等图形的有关性质，解决综合性问题。
二次函数的图像和性质考点概括聚焦。
1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。
限制条件（1）自变量的最高次数是 ；（2）二次项系数。
2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。
1）一般式。
2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为对称轴是。
注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。离开它用一般形式也可以。
3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x=。
4）对称点式：，其中（），为抛物线上关于对称轴对称的两个点。
注意：①当顶点在x轴上（即抛物线与x轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为这个交点是抛物线的什么点？
是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？
利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。
三种二次函数的解析式的联系：
针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k=
当δ=b2-4ac 时，才有两根式。
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 --抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用。
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。
1）形状---开口大小。由决定， 越大，开口越 。
2）开口方向：由决定。当a>0时，函数开口方向向 ；当a<0时，函数开口方向向 ；
3）对称轴：直线x= ；
注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是x=k，或y=k，它们为什么不是一次函数呢？
4）顶点坐标公式。
利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入**求得纵坐标。例如：y=2x2-4x+1
当x==-2时，y顶点坐标为（ ，
可见，必须记住顶点横坐标公式。顶点纵坐标公式记不住也没有关系。
5）增减性：分对称轴左右两侧描述。
当a>0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而 ；在对称轴右侧，即x
时，y随着x的增大而 ；当a<0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而 ；在对称轴右侧，即x 时，y随着x的增大而 ；
6）最值：特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内。
若顶点横坐标在自变量的取值范围内。
当a>0时，函数有最值，并且当x= 时，y最小值= ；当a<0时，函数有最值，并且当x= ，y最大值并且考虑在端点处是否取得最值。
若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。
7）y=ax2+bx+c与坐标轴的交点。
与x轴的交点。
求法：解方程其求根公式是。
个数：当δ=b2-4ac 0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；
=b2-4ac 0时，抛物线与x轴没有交点；
=b2-4ac 0时；抛物线与x轴只有一个交点，即顶点在轴上。
与y轴的交点。
8）函数值的正、负性：如图1：当x＜x1或x＞x2时，y 0；
当x1＜x＜x2时，y 0；当x=x1或x=x2时，y 0。
如图2：当x1＜x＜x2时，y 0；
当x＜x1或x＞x2时，y 0；
当x=x1或x=x2时，y 0.
9)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为a（x1，0），b（x2，0），则二次函数图象与x轴的交点之间的距离ab==
10)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c及其代数式的符号判别：
a的符号判别---由抛物线的开口方向确定：当开口向上时，a 0；当开口向下时，a 0；
c的符号判别---由抛物线的与y轴的交点来确定：若交点在x轴的上方，则c 0；若交点在x轴的下方，则c 0；
b的符号由对称轴来确定：对称轴在y轴的左侧，由 0知a、b同号；若对称轴在y轴的右侧，由 0知a、b异号。
11）缺项二次函数的特征
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在y轴上时抛物线关于轴对称， =0；解析式为 。
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则 =0；解析式为。
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点在原点，则b= c= ，解析式为 。
12）抛物线的平移和轴对称。
无论b，c值为多少，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=ax2的形状（开口方向和开口大小）是相同的，只是位置不同，可以通过平移得到。
抛物线y=ax2+bx+c上（下）平移n（n＞0）个单位后的解析式：将原解析式中的不变，把转换为 ；左（右）平移n（n＞0）个单位后的解析式：将原解析式中的不变，把转换为 。
抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式是 （将原解析式中的不变，把转换为 ，再整理）抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线解析式是将原解析式中的不变，把转换为 ，再整理）
小结：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）待定系数a,b,c的作用。
1）a:a的符号决定 ；a的绝对值决定 （2）c决定抛物线与轴交点的位置。
3）b单独不能起什么作用。
根据，a，b共同决定抛物线对称轴的位置；
=b2-4ac决定。
4、二次函数的解析式的求法---待定常数法。
三种基本情况。
1）已知抛物线上任意三点的坐标，利用式。
2）已知抛物线的顶点和任意一点的坐标，利用顶点式简便些；
3）已知抛物线与x轴的交点和任意一点的坐标，利用交点式简便些。
注意；当知道对称轴或顶点坐标（可能是一个坐标）时，通常将一般式与顶点坐标公式结合起来用。实际上只用一般式，不用其他两种形式就够了。
5.二次函数图象的画法。
画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一般步骤。
1）利用顶点坐标公式求得顶点坐标；
2）利用抛物线的性列表；
3）先画对称轴，再对称描点连线。
实际上，我们解题时只需画抛物线的草图。画抛物线草图一般要体现哪几个要素呢？
开口方向，顶点坐标，与坐标轴的交点。
6.二次函数与一元二次方程的关系。
1）从形式来看，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y= 时，得一元二次方程ax2+bx+c=0。从这个角度来看一元二次方程只是二次函数的特殊状态；
2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点情况正好由一元二次方程ax2+bx+c=0的决定；
3）一般地，一元二次方程ax2+bx+c=k（a≠0）的根可以看成是直线y= 与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的交点坐标。也就是说解方程组与解方程ax2+bx+c=k（a≠0）是等价的。
7．二次函数的应用。
二次函数的应用主要是最值问题和求某一点的坐标问题，而求二次函数的解析式是最基本的问题。
利用二次函数求最值的一般步骤：
1）引入自变量和因变量。
2）根据实际问题的数量关系列中间变量的代数式，建立函数关系式，根据中间变量的代数式的取值范围，列不等式（组），求出自变量的取值范围。
3）利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标，判断顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内。
若顶点横坐标在自变量的取值范围内。
当a>0时，函数有最值，并且当x= 时，y最小值= ；当a<0时，函数有最值，并且当x= ，y最大值并且考虑在端点处是否取得最值。
若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。
第一讲二次函数。
学习目标。1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的性质。
2、会建立简单二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
3、会用待定系数法求二次函数的解析式。
练习。1、判断下列函数哪些是二次函数。
①y=-8x2 ②s=gt2+2t(g是常数) ③s=πx2-1 ④y=mx2+kx-2 ⑤y=
2、当m为何值时，y=(m-3)是二次函数？
3、已知二次函数y=x2+bx+c中，当x=1时，函数值为2；当x=2时，函数值为3.求此函数解析式，并写出二次项、一次项系数及常数项。
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