第二十六章二次函数。
26.1 二次函数及其图像。
26.1.1 二次函数。
类型1 二次函数的概念。
解题要点：1、一个二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数表达式必须是整式；（2）化成一般形式后自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不等于0
2、有已知二次函数的表达式来写其对应的项时，要注意各项和各项的系数都包括前面的性质符号，正号可以省略不写，负号不可以省略。
题型1 利用二次函数的定义识别二次函数。
例1、下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
a、在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系；
b、当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系；
c、等边三角形周长c与边长a之间的关系。
d、一个边长为2cm的正方形，若它的边长增加x cm,它的面积对应增加y cm2,y与x之间的关系。
例2、下列函数中，那些事二次函数，那些不是二次函数？
题型2 利用二次函数的有关概念写出其有关的项或向的系数。
例3、将下列二次函数化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。
题型3 利用二次函数的概念求有关字母的值。
例4、已知函数是二次函数，则m
例5、已知函数。
1）当m为何值时，y是x的二次函数？（2）当m为何值时，y是x的一次函数？
例6、若二次函数是二次函数，求不等式的解集。
题型4 利用二次函数解析式进行简单的计算。
例7、已知y与x2成正比例，并且当x=1时，y=2.求：
1）y与x的函数关系式：
2）当x=3时y 的值；当y=8时x的值。
类型2 根据实际问题列出二次函数的解析式。
解题要点：1）审清题意，找出已知量和未知量的关系；（2）列函数解析式，根据实际问题中存在的等量关系或客观存在的某种数量关系，建立二次函数解析式；（3）注意联系实际，明确自变量的取值范围。
题型1 由**中的数据列函数解析式。
例8、若，则由**中的信息可知y与x的函数关系式是（ ）
a、题型2 根据实际问题列函数解析式。
例9、某果园由100棵果树，平均每一棵树能结600个果子。现在准备多种一些果树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就减少结5个果子。如果果园果子的总产量为y个。
增种的果树为x棵，那么请你写出y与x见得函数关系式。
例10、将一根长为40的铁丝折成一个矩形，试写出矩形的面积y与一边长x之间的函数关系式及x的取值范围、
题型3、列出函数解析式并进行实际问题的计算。
例11、小明将人民币200元存入银行，存为2年期，年利率为x（按复利计算），两年到期后的本息和为y元，y与x之间函数关系式为若年利率为2.25％，两年到期后的本息共元。（结果保留两位小数）
26.1.2二次函数的图象。
类型3 二次函数图象的画法。
解题要点：1、画二次函数的图象一般用描点法，画法如下：
1）列表，要合理选取x的值，首先要考虑自变量的取值范围；
2）描点，一般先选顶点，然后利用对称性描出点；
3）连线，要用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序连接各点。
2、对于几个具有对称特征的图象，可以先画出其中一个，在根据对称性画出其它函数的图象。
题型1 直接列表、描点、连线画图。
例12、如图，正方形abcd的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形abcd的顶点上，且它们的个边与正方形ａｂｃ各边平行或垂直，若小正方形的边长为x，且，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是（ ）
例13、画出下列函数的图象。
例14、用描点法作出二次函数的图象，并利用已有图象作出二次函数的图象。
类型4 确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最高（底）点。
解题要点：1）开口方向由a得正负决定，简记为“上正下负”
2）对称轴是x=0，即y轴。
3）顶点坐标是（0，0），当a>0时，（0,0）是最低点；当a<0时，（0，0）是最高点。
题型1 由函数解析式直接确定开口方向、对称轴、顶点坐标和最高（底）点。
例15、（1）抛物线的开口向 ，对称轴是顶点坐标 ， 顶点是这条抛物线的最点。
2）的开口向 ，对称轴是顶点坐标 ， 顶点是这条抛物线的最点。
题型2 根据抛物线的特征求有关字母的值。
例16、二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
a、x>1 b 、x<1 c、x>-1 d、x<-1
例17、若二次函数的图象由最低点，则m的值为。
类型5 二次函数中a对图像开口的影响。
解题要点：抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口就越小，越小，抛物线的开口就越大。反过来可以由抛物线的开口的大小判断的大小。
例18、下列抛物线中，开口方向向下，且开口最大的是（ ）
例19、如图是三条抛物线的图象，则k的取值范围是。
类型6 二次函数的增加性与最值。
解题要点：抛物线关于y轴对称，在对称轴两侧，二次函数的增减性相反，常利用其增减性来求函数值的取值范围和比较函数值的大小，可以利用数形结合的思想解题。
题型1、二次函数的增减性与最值。
例20、在中，已知-3例21、已知函数是关于x的二次函数。
1）求满足条件的m的值；
2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点。这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
3）m为何值时函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
题型2 利用二次函数的增减性比较函数值的大小。
例22、已知二次函数，当时，相应的y1与y2的大小关系是。
例23、已知点都在的图象上，则m,n,p的大小关系是（ ）
a、m>n>p b
类型７ 二次函数与其他知识的综合应用。
解题要点：1、解决二次函数与其他函数的综合题目时，关键抓住各种函数的性质；
2、解决二次函数与几何图形面积的综合题目时，关键是求出图象的有关交点，一般转化为方程组来求解；
3、解决二次函数的简单实际应用问题时，一般要建立合适的坐标系，将实际问题转化为数学问题。
题型１ 二次函数与一次函数的综合应用。
例２４、二次函数与的图象可能是（ ）
例２５、若二次函数和直线的图象交与点（２，则。
例２６、如图，已知函数的图象交与ａ、ｂ两点，且与x轴、y轴交与d、c两点，o为坐标原点。
1）求a、b的坐标；
2）求。题型3 二次函数的简单实际应用题。
例27、由静止状态开始做匀加速直线运动的物体通过的位移s与实践t的函数关系式为，其中a为加速度，a>0，则该函数的图象可表示为（ ）
例28、某函洞是抛物线形的，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6米，涵洞顶点o到水面的距离为2.4米，在图中直角坐标系内，求涵洞所在的抛物线的解析式。
题型4 、二次函数的**性问题。
例29、如图，已知直线ａｂ经过x轴上的点 a(2,0),且与抛物线相较于b，c两点，已知b点坐标为（1,1）。
1）分别写出直线和抛物线的解析式；
2）在抛物线上是否存在点d，使得面积与的面积相等，求出点d的坐标；若不存在，请说明理由。
26.1.3二次函数的图象。
类型8 二次函数的图象的画法。
解题要点：画二次函数的图象一般有两种方法：
1、用描点法画；
2、通过抛物线的平移来画。当h为0或k为0或h,k同时为0时，可以得到抛物线的其他几种解析式，对应抛物线可以归结到抛物线的画法中。
例30、在同一平面直角坐标系中，画出， ，的图象。
类型9 确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴。
解题要点：由于抛物线与形状相同，位置不同，所以它们的开口方向相同，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。对称轴和顶点之间存在平移的关系，即抛物线的对称轴是直线，顶点是（h,k）.
例31、确定下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。
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