九年级下数学训练题

1．如图，已知ad是等腰△abc底边上的高，且tan∠b=,ac上有一点e，满足ae:ce=2:3则tan∠ade的值是（ b ）

abc2．如图，在△abc中，∠b=45°，cos∠c=，ac=5a，则△abc的面积用含ａ的式子表示是。

3如图，将边长为的等边折叠，折痕为，点与点重合，和分别交于点、，，垂足为，.设的面积为，则重叠部分的面积。

为用含的式子表示)

4．把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x－3x＋5，则（）

a．b=3，c=7 b．b=6，c=3 c．b=9，c=5 d．b=9，c=21

5．已知抛物线（＜0）过a（，0）、o（0，0）、

b（，）c（3，）四点，则与的大小关系是( )

a．＞ bcd．不能确定。

6．抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为( d )

7．给出下列四个函数：①；时，y随x的增大而减小的函数有( )

a．1个b．2个c．3个d．4个。

8．如图，菱形abcd中，ab=2 ，∠c=60°,菱形abcd在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心o所经过的路径总长为(结果保留8+4）π

9．某商场设计了两种**方案：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球（球上分别标有数字1，2，…，100）的箱子中随机摸出一个球（摸后放回）．若球上的数字是88，则返500元购物券；若是66或99，则返300元购物券；若球上的数字被5整除，则返5元购物券；若是其它数字不返还购物券．第二种是顾客在商场消费每满200元直接返还15元购物券．估计活动期间将有5000人参加活动．请你通过计算说明商家选择哪种方案**合算些？

解：获得500元，300元购物券的概率分别是0.01，0.02（1分），获得5元购物券的概率是0.2（2分）（这一步为独立得分点）

摸球一次获得购物券的平均金额为：（0.01×500＋0.02×300＋0.2×5）＝12（元）（3分）

如果有5000人参加摸球，那么相应频率大致为0.01，0.02，0.2

商场付出的购物券的金额是：

5000×（0.01×500＋0.02×300＋0.2×5）（4分）（注：省略这步算式扣1分）

60000元（5分）（注：如果没有说明理由，直接列出算式计算出结果只能评3分，算式正确但结果错误只扣1分）

若直接获现金，需付出5000×15＝75000元（6分）（这一步为独立得分点）

商场选择摸球的**方式合算．（7分）

10．如图，⊙o的半径od经过弦ab(不是直径)的中点c，过ab的延长线上一点p作⊙o的切线pe，e为切点，pe∥od；延长直径ag交pe于点h；直线dg交oe于点f，交pe于点k．

1）求证：四边形ocpe是矩形；

2）求证：hk＝hg；

3）若ef＝2，fo＝1，求ke的长．

解：(1)∵ac＝bc，ab不是直径，od⊥ab，∠pco＝90°(1分)

pe∥od,∴∠p＝90°，pe是切线，∴∠peo＝90°，(2分)

四边形ocpe是矩形。(3分)

2)∵og＝od,∴∠ogd＝∠odg.

pe∥od,∴∠k＝∠odg.(4分)

∠ogd＝∠hgk,∴∠k＝∠hgk,hk＝hg.(5分)

3)∵ef＝2，of＝1,∴eo＝do＝3.(6分)

pe∥od，∴∠keo＝∠doe，∠k＝∠odg.

△ofd∽△efk，(7分)∴ef∶of＝ke∶od＝2∶1,ke＝6.(8分)

11．如图，在rt△abc中，ab＝ac，p是边ab（含端点）上的动点．过p作bc的垂线pr，r为垂足，∠prb的平分线与ab相交于点s，**段rs上存在一点t，若以线段pt为一边作正方形ptef，其顶点e，f恰好分别在边bc，ac上．

1）△abc与△sbr是否相似，说明理由；

2）请你探索线段ts与pa的长度之间的关系；

3）设边ab＝1，当p在边ab（含端点）上运动时，请你探索正方形ptef的面积y的最小值和最大值．

解：(1)∵rs是直角∠prb的平分线，∴∠prs＝∠brs＝45°.

在△abc与△sbr中，∠c＝∠brs＝45°，∠b是公共角，△abc∽△sbr..(1分)

2)线段ts的长度与pa相等。(2分)

四边形ptef是正方形，pf＝pt，∠spt＋∠fpa＝180°－∠tpf＝90°,在rt△pfa中，∠pfa ＋∠fpa＝90°,∠pfa＝∠tps，rt△paf≌rt△tsp，∴pa＝ts.(3分)

当点p运动到使得t与r重合时，这时△pfa与△tsp都是等腰直角三角形且底边相等，即有pa＝ts.

若下面解题中没有求出x的取值范围是0≤x≤，以上的讨论可评1分)

由以上可知，线段st的长度与pa相等。

(3)由题意，rs是等腰rt△prb的底边pb上的高，ps＝bs, ∴bs＋ps＋pa＝1, ∴ps＝.(4分)

设pa的长为x，易知af=ps，则y＝pf＝pa＋ps,得y＝x＋()即y＝，(5分)

根据二次函数的性质，当x＝时，y有最小值为。(6分)

如图2，当点p运动使得t与r重合时，pa＝ts为最大。

易证等腰rt△paf≌等腰rt△psr≌等腰rt△bsr，pa＝.

如图3，当p与a重合时，得x＝0.

x的取值范围是0≤x≤.(7分) (此处为独立得分点，只要求出x≤即可得1分)

①当x的值由0增大到时，y的值由减小到(8分)

②当x的值由增大到时，y的值由增大到。(8分)

说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分)

≤≤，在点p的运动过程中，正方形ptef面积y的最小值是，y的最大值是。(9分)

12.如图1，点a是直线y＝kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以a为顶点的抛物线y＝(x－h)2＋m交直线y＝x于另一点e，交 y 轴于点f，抛物线的对称轴交x轴于点b，交直线ef于点c.（点a,e,f两两不重合）

1)请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示）

2)当点a运动到使ef与x轴平行时(如图2)，求线段ac与of的比值；

3)当点a运动到使点f的位置最低时(如图3)，求线段ac与of的比值。

解(1)∵抛物线顶点(h，m)在直线y＝kx上，∴m＝kh；(1分)

2) 方法一：解方程组，将(2)代入(1)得到： (x－h)2＋kh＝kx，整理得：(x－h)[(x－h)－k]＝0，解得：x1＝h， x2＝k＋h

代入到方程(2) y1＝h y2＝k2＋hk

所以点e坐标是(k＋h，k2＋hk) (1分)

当x＝0时，y＝(x－h)2＋m＝h2＋kh，点f坐标是(0，h2＋kh)

当ef和x轴平行时，点e，f的纵坐标相等，即k2＋kh＝h2＋kh

解得：h＝k(h＝－k舍去，否则e，f，o重合)(2分)

此时点e(2k，2k2)，f(0，2k2)，c(k,2k2)， a(k，k2)

ac∶of＝k2∶2 k2 =1∶2(3分)

方法二：当x＝0时，y＝(x－h)2＋m＝h2＋kh，即f (0，h2＋kh)

当ef和x轴平行时，点e，f的纵坐标相等。

即点e的纵坐标为h2＋kh

当y＝h2＋kh时，代入y＝(x－h)2＋kh，解得x＝2h(0舍去，否则e，f，o重合)，即点e坐标为(2h，h2＋kh)，(1分)

将此点横纵坐标代入y＝kx得到h＝k(h＝0舍去，否则点e，f，o重合) (2分)

此时点e(2k，2k2)，f(0，2k2)，c(k,2k2)，a(k，k2)

ac∶of＝k2∶2 k2 =1∶2(3分)

方法三： ∵ef与x轴平行，根据抛物线对称性得到fc＝ec(1分)

ac∥fo，∴∠eca＝efo，∠foe＝∠cae

△ofe∽△ace，(2分)

ac∶of＝ec∶ef＝1∶2(3分)

3)当点f的位置处于最低时，其纵坐标h2＋kh最小，(1分)

h2＋kh＝－，当h＝，点f的位置最低，此时f(0，－)2分)

解方程组得e(，)a(－，3分)

方法一：设直线ef的解析式为y＝px＋q，将点e(，)f(0，－)的横纵坐标分别代入得(4分)

解得：p＝，q＝－，直线ef的解析式为y＝x－(5分)

当x＝－时，y＝－k2，即点c的坐标为(－，k2)，点a(－，所以ac＝，而of=，ac＝2of，即ac∶of＝2。(6分)

方法二：∵e(，)a(－，

点a，e关于点o对称，∴ao＝oe，(4分)

ac∥fo，∴∠eca＝efo，∠foe＝∠cae

△ofe∽△ace，(5分)

ac∶of＝ec∶ef＝1∶2(6分)

图1）图2）

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2019届九年级下数学强化训练题十五

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