1．如图，在△abc中，d为bc的中点，点e、f分别在边ac、ab上，并且∠abe=∠acf，be、cf交于点o．过点o作op⊥ac，oq⊥ab，p、q为垂足．
求证：dp=dq．
证法：如图1，取ob中点m，oc中点n.
因为d为bc的中点，所以dm∥oc，dm＝oc，dn∥ob， dn＝ob.
在rt△boq和rt△ocp中，qm＝ob，pn＝oc
所以dm＝pn，qm＝dn
qmd＝∠qmo＋∠omd＝2∠abo＋∠fob，pnd＝∠pno＋∠ond＝2∠aco＋∠eoc．
因为∠abo＝∠aco，∠fob＝∠eoc，所以∠qmd＝∠pnd
于是△qmd≌△dnp，从而dq=dp
2．方程的整数解（x，y）的个数是（ ）
a）0b）1c）3 （d）无穷多。
答：（a）．
解：原方程可化为。
因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．
故选(a).
3．已知三个关于x的一元二次方程，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）
a） 0 （b）1 （c）2 （d）3
答：（d）．
解：设是它们的一个公共实数根，则，．
把上面三个式子相加，并整理得。
因为，所以．
于是。故选（d）．
4、已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
解：不妨设≤b，且方程的两个整数根为(≤)则有。
所以， 因为，b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，≥0,≥0，≥1,≥1，所以。
或 （1）当时，由于a,b都是正整数，且≤b，可得。
a＝1，b＝3，此时，一元二次方程为，它的两个根为，．
2）当时，可得。
a＝1，b＝1，此时，一元二次方程为，它无整数解。
综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为。
5．函数y＝图象的大致形状是（ d ）
6．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形aocd，已知ad＝3，ao＝8，oc＝5，若点p在梯形内且，那么点p的坐标是 （
7．把三个连续的正整数a，b，c按任意次序（次序不同视为不同组）填入的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a，b，c（ c ）
a．不存在 b．有一组 c．有两组 d．多于两组。
8．象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局，每局赢者得2分，输者得0分，平局各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情况分别是，经核实确有一个同学统计无误，这次比赛中有___名选手参加比赛。
设共有x名选手参加，依题意可得。
x是正整数，且大于1，所以x, x –1是两个连续的正整数。
不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，故得分总数只能是1980，则x(x-1)=1980，解之得（舍去），故共有45名选手参赛。
9．某工厂实行计时工资制，每个工人工作1小时的报酬是6元，一天工作8小时．但是用于计时的那口钟不准：每69分钟才使分针与时针重合一次，因此工厂每天少付给每个工人的工资是。
a）2.20元 （b）2.40元 （c）2.60元 （d）2.80元。
答．c正常的时钟，分针与时针重合一次的时间为分，因此，工人一天实。
际工作时间为（小时），超过（小时）．
少付工资元．
10．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )
a)1个 (b) 2个 (c) 3个 (d)无穷多个。
答案：c解：设直角三角形的两条直角边长为()，则。
a,b,k均为正整数），化简，得，所以或．
解得或或即有3组解．
11．如图，以rt△abc的斜边bc为一边在△abc的同侧作正方形bcef，设正方形的中心为o，连结ao，如果ab=4，ao=，那么ac的长等于( )
a) 12 (b) 16 (c) (d)
答案：b解：在ac上取一点g，使cg=ab=4，连接og，则。
ogc≌△oab，所以og=oa=，aog=90°，所以△aog是等腰直角三角形，ag=，所以ac=16．
12．正六边形轨道abcdef 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从a，c 两点同时出发，均按a→b→c→d→e→f→a→… 方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．
答案： 解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了厘米，于是。
解得．因x是整数，所以x=8，即经过==秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．
13．设… ，为实数，且满足。
1，则的值是。
答案：1，或。
解：由已知，…=1，…=1，解得．
所以，或．14．现在a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成2n个正方形。
用含n的代数式表示m；
当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值。（52根）
15．如图， 点a，c都在函数的图象上，点b，d都在轴上，且使得△oab，△bcd都是等边三角形，则点d的坐标为。
答：（，0）．
解：如图，分别过点a，c作x轴的垂线，垂足分别为e，f．设oe＝a，bf＝b， 则ae＝，cf＝，所以，点a，c的坐标为，），2＋b，），所以解得。
因此，点d的坐标为（，0）．
16．已知对于任意正整数n，都有，则。
答：．解：当≥2时，有，两式相减，得 ，所以
因此 17．关于x，y的方程x2 + y2 = 208 (x – y )的所有正整数解为 （48,32 ） 160,32） .
18． 已知实数满足。则的值为
答】.解 ∵，由以上两式可得。 所以，解得，所以。
19、已知方程x2＋ax－b＝0的根是a和c，方程x2＋cx＋d＝0的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d
解：∵方程x2＋ax－b＝0的根是a和c，∴a＋c＝－a，ac＝－b
x2＋cx＋d＝0的根是b和d，∴b＋d＝－c，bd＝d
一） 若d≠0，则由bd＝d知b＝1
由a＋c＝－a知c＝－2a，由ac＝－b知－2a2＝－1，解得
当时，得d＝－c－b＝；
当时，得d＝－c－b＝
经验证，，b＝1，，d＝是符合条件的两组解．
二）若d＝0，则b＝－c，由a＋c＝－a知c＝－2a，由ac＝－b知ac＝c
若c＝0，则a＝0，这与a、b、c、d是不同的实数矛盾．
若c≠0，则a＝1，再由c＝－2a知c＝－2，从而b＝－c＝2
经验证，a＝1，b＝2，c＝－2，d＝0也是符合条件的解．
20.如图，边长为1的正方形abcd被两条与边平行的线段ef、gh分割为四个小矩形，ef与gh交于点p。
1）若ag=ae，证明：af=ah；
2）若∠fah=45°，证明：ag+ae=fh；
3）若rtδgbf的周长为1，求矩形ephd的面积。
21.如图，在rt△abc中，∠a=90°，ab=6㎝，ac=8㎝，以斜边bc上距离b点6㎝的点p为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△def，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是2.
答。提示：过p作pm⊥ac于m，pn⊥df于n，易证四边形pmgn为正方形，可求，22.
在梯形abcd中，ad∥bc，ab=dc，abc=80°，e是腰cd上一点，连接be、ac、ae， 若∠acb=60°，∠ebc=50°，求∠eac的度数。
答。连结bd交ac于f，连ef.可证△bcf，△adf均为正三角形。
可证cb=在以c为圆心，ce为半径的圆上，从而可证∠efd=∠edf=40°，∵ef=ed，于是易证△ade≌△afe，∠cae=∠dae=∠dac=30°.
23. 在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球。他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高。
如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分。
1）用含x的代数式表示y；
2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？
3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？
24． 问题解决。
如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．
类比归纳。在图（1）中，若则的值等于若则的值等于若（为整数），则的值等于用含的式子表示）
联系拓广。如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于用含的式子表示）
解：方法一：如图（1-1），连接．
由题设，得四边形和四边形关于直线对称．
∴垂直平分．∴
四边形是正方形，∵
设则。在中，．
∴解得，即 3分。
在和在中，设则∴
解得即。方法二：同方法一，如图（1－2），过点做交于点，连接。
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