1.如图,在△abc中,d为bc的中点,点e、f分别在边ac、ab上,并且∠abe=∠acf,be、cf交于点o.过点o作op⊥ac,oq⊥ab,p、q为垂足.
求证:dp=dq.
证法:如图1,取ob中点m,oc中点n.
因为d为bc的中点,所以dm∥oc,dm=oc,dn∥ob, dn=ob.
在rt△boq和rt△ocp中,qm=ob,pn=oc
所以dm=pn,qm=dn
qmd=∠qmo+∠omd=2∠abo+∠fob,pnd=∠pno+∠ond=2∠aco+∠eoc.
因为∠abo=∠aco,∠fob=∠eoc,所以∠qmd=∠pnd
于是△qmd≌△dnp,从而dq=dp
2.方程的整数解(x,y)的个数是( )
a)0b)1c)3 (d)无穷多。
答:(a).
解:原方程可化为。
因为三个连续整数的乘积是3的倍数,所以上式左边是3的倍数,而右边除以3余2,这是不可能的.所以,原方程无整数解.
故选(a).
3.已知三个关于x的一元二次方程,恰有一个公共实数根,则的值为( )
a) 0 (b)1 (c)2 (d)3
答:(d).
解:设是它们的一个公共实数根,则,.
把上面三个式子相加,并整理得。
因为,所以.
于是。故选(d).
4、已知a,b都是正整数,试问关于x的方程是否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明。
解:不妨设≤b,且方程的两个整数根为(≤)则有。
所以, 因为,b都是正整数,所以x1,x2均是正整数,于是,≥0,≥0,≥1,≥1,所以。
或 (1)当时,由于a,b都是正整数,且≤b,可得。
a=1,b=3,此时,一元二次方程为,它的两个根为,.
2)当时,可得。
a=1,b=1,此时,一元二次方程为,它无整数解。
综上所述,当且仅当a=1,b=3时,题设方程有整数解,且它的两个整数解为。
5.函数y=图象的大致形状是( d )
6.如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形aocd,已知ad=3,ao=8,oc=5,若点p在梯形内且,那么点p的坐标是 (
7.把三个连续的正整数a,b,c按任意次序(次序不同视为不同组)填入的三个方框中,作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,使所得方程至少有一个整数根的a,b,c( c )
a.不存在 b.有一组 c.有两组 d.多于两组。
8.象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局,每局赢者得2分,输者得0分,平局各记1分,今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情况分别是,经核实确有一个同学统计无误,这次比赛中有___名选手参加比赛。
设共有x名选手参加,依题意可得。
x是正整数,且大于1,所以x, x –1是两个连续的正整数。
不难验证:两个连续的整数之积的末位数字只能是0,2,6,故得分总数只能是1980,则x(x-1)=1980,解之得(舍去),故共有45名选手参赛。
9.某工厂实行计时工资制,每个工人工作1小时的报酬是6元,一天工作8小时.但是用于计时的那口钟不准:每69分钟才使分针与时针重合一次,因此工厂每天少付给每个工人的工资是。
a)2.20元 (b)2.40元 (c)2.60元 (d)2.80元。
答.c正常的时钟,分针与时针重合一次的时间为分,因此,工人一天实。
际工作时间为(小时),超过(小时).
少付工资元.
10.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )
a)1个 (b) 2个 (c) 3个 (d)无穷多个。
答案:c解:设直角三角形的两条直角边长为(),则。
a,b,k均为正整数),化简,得,所以或.
解得或或即有3组解.
11.如图,以rt△abc的斜边bc为一边在△abc的同侧作正方形bcef,设正方形的中心为o,连结ao,如果ab=4,ao=,那么ac的长等于( )
a) 12 (b) 16 (c) (d)
答案:b解:在ac上取一点g,使cg=ab=4,连接og,则。
ogc≌△oab,所以og=oa=,aog=90°,所以△aog是等腰直角三角形,ag=,所以ac=16.
12.正六边形轨道abcdef 的周长为7.2米,甲、乙两只机器鼠分别从a,c 两点同时出发,均按a→b→c→d→e→f→a→… 方向沿轨道奔跑,甲的速度为9.2厘米/秒,乙的速度为8厘米/秒,那么出发后经过秒钟时,甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上.
答案: 解:设甲跑完x 条边时,甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上,此时甲走了120x 厘米,乙走了厘米,于是。
解得.因x是整数,所以x=8,即经过==秒时,甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上.
13.设… ,为实数,且满足。
1,则的值是。
答案:1,或。
解:由已知,…=1,…=1,解得.
所以,或.14.现在a根长度相同的火柴棒,按如图1摆放时可摆成m个正方形,按如图2摆放时可摆成2n个正方形。
用含n的代数式表示m;
当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时,求a的最小值。(52根)
15.如图, 点a,c都在函数的图象上,点b,d都在轴上,且使得△oab,△bcd都是等边三角形,则点d的坐标为。
答:(,0).
解:如图,分别过点a,c作x轴的垂线,垂足分别为e,f.设oe=a,bf=b, 则ae=,cf=,所以,点a,c的坐标为,),2+b,),所以解得。
因此,点d的坐标为(,0).
16.已知对于任意正整数n,都有,则。
答:.解:当≥2时,有,两式相减,得 ,所以
因此 17.关于x,y的方程x2 + y2 = 208 (x – y )的所有正整数解为 (48,32 ) 160,32) .
18. 已知实数满足。则的值为
答】.解 ∵,由以上两式可得。 所以,解得,所以。
19、已知方程x2+ax-b=0的根是a和c,方程x2+cx+d=0的根是b和d.其中,a、b、c、d为不同实数,求a、b、c、d
解:∵方程x2+ax-b=0的根是a和c,∴a+c=-a,ac=-b
x2+cx+d=0的根是b和d,∴b+d=-c,bd=d
一) 若d≠0,则由bd=d知b=1
由a+c=-a知c=-2a,由ac=-b知-2a2=-1,解得
当时,得d=-c-b=;
当时,得d=-c-b=
经验证,,b=1,,d=是符合条件的两组解.
二)若d=0,则b=-c,由a+c=-a知c=-2a,由ac=-b知ac=c
若c=0,则a=0,这与a、b、c、d是不同的实数矛盾.
若c≠0,则a=1,再由c=-2a知c=-2,从而b=-c=2
经验证,a=1,b=2,c=-2,d=0也是符合条件的解.
20.如图,边长为1的正方形abcd被两条与边平行的线段ef、gh分割为四个小矩形,ef与gh交于点p。
1)若ag=ae,证明:af=ah;
2)若∠fah=45°,证明:ag+ae=fh;
3)若rtδgbf的周长为1,求矩形ephd的面积。
21.如图,在rt△abc中,∠a=90°,ab=6㎝,ac=8㎝,以斜边bc上距离b点6㎝的点p为中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△def,则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是2.
答。提示:过p作pm⊥ac于m,pn⊥df于n,易证四边形pmgn为正方形,可求,22.
在梯形abcd中,ad∥bc,ab=dc,abc=80°,e是腰cd上一点,连接be、ac、ae, 若∠acb=60°,∠ebc=50°,求∠eac的度数。
答。连结bd交ac于f,连ef.可证△bcf,△adf均为正三角形。
可证cb=在以c为圆心,ce为半径的圆上,从而可证∠efd=∠edf=40°,∵ef=ed,于是易证△ade≌△afe,∠cae=∠dae=∠dac=30°.
23. 在杭州市中学生篮球赛中,小方共打了10场球。他在第6,7,8,9场比赛中分别得了22,15,12和19分,他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高。
如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分。
1)用含x的代数式表示y;
2)小方在前5场比赛中,总分可达到的最大值是多少?
3)小方在第10场比赛中,得分可达到的最小值是多少?
24. 问题解决。
如图(1),将正方形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点,重合),压平后得到折痕.当时,求的值.
类比归纳。在图(1)中,若则的值等于若则的值等于若(为整数),则的值等于用含的式子表示)
联系拓广。如图(2),将矩形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点重合),压平后得到折痕设则的值等于用含的式子表示)
解:方法一:如图(1-1),连接.
由题设,得四边形和四边形关于直线对称.
∴垂直平分.∴
四边形是正方形,∵
设则。在中,.
∴解得,即 3分。
在和在中,设则∴
解得即。方法二:同方法一,如图(1-2),过点做交于点,连接。
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