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一。 本周教学内容：
图形变换与证明。
我们学习平面几何知识从与现实生活相结合的意义上讲，会识别图形的移动，会实现一个平面图形的移动，是一个实现平面几何价值的问题。
要求：会按照要求对图形作相应的移动；会识别图形经过移动后的图形关系；会利用图形的变换解决一些几何问题或与现实生活相结合的问题。
典型例题】例1.与关于点o成中心对称，直线m经过点o，与关于直线m对称。是否存在这样的直线，使得与关于该直线对称？如果存在，请指出该直线具有何特征？
解：这样的直线是存在的，即存在直线n，使得与关于直线对称。直线经过点o，且直线垂直于直线。
说明：图形经过两次翻折（对称轴互相垂直），得到的图形与原图形关于两条对称轴的交点成中心对称；而图形经过两次翻折（对称轴相交），得到的图形可以看作是原图形绕着两条对称轴的交点旋转得到的，旋转角为两条对称轴的夹角的两倍。
例2. 请你不借助作图工具画一个三角形的高线。
简析：一般讲我们画三角形的高线采取的方法是：过已知边所对的顶点，用三角板画一条与已知边相垂直的线段。
但是此例要求不借助作图工具，即不借助直尺、三角板、圆规等直接画高线。这时要考虑画高线关键在于确定垂足，如果画出垂足就可以实现画高线。根据我们所学的轴对称关系的性质可知，它可以提供垂直关系。
简解：如图，已知。
作的bc边上的高。
方法：把点c沿cb边对折，使折痕经过点a，且点c落在bc的点处，则折痕ad就是所要求画的高。
例3. 四边形abcd中，。求四边形abcd的面积。
分析：由已知，可知，如果将绕点c旋转到的位置，那么四边形abcd的面积与等腰直角三角形ace的面积相等，于是本题便可获解。
解：连结ac，过点c作ac的垂线，交ab的延长线于点e。
由，得。所以，所以。
所以。由，得。
所以。即四边形abcd的面积为4。
例4. 一个人身高1.8米，晚上站在路灯下，他的影长为1.5米，若他沿着影子方向移动1.5米站立，影子增加1米，求路灯的高度。
分析：首先根据题意，我们可以得出站立的人和路灯是平行关系，这样就可以找到两组相似的三角形，根据相似三角形的性质，就可以求出路灯的高度。
解：如图，设路灯高为h，人高为h，则。
因为，所以，那么，即。
（相似三角形对应边成比例1）
因为，所以，同理可得：，即。
由（1）和（2）可解得：（米）
答：路灯的高度为4.5米。
例5. 如图，矩形abcd中，折叠ad边，使点d落在bc边上的f点处，若折痕，且，求矩形abcd的周长。
简析：若求矩形的周长就需要知道它的边长。根据已知条件可知，只知折痕长及折叠后的一个角的正切值，因此，我们要理解折叠在题中所起的作用以及折叠后可能形成的图形关系。
解：根据题意ad边对折，点d落在bc边上的点f处，有，所以。故。则。
所以。因为，在矩形abcd中，所以。故。则。
又。设，则。
所以。因此。
故。由勾股定理，有，且。
解得（舍负值）
所以。所以，矩形周长为36cm。
例6. 如图，d是的bc边中点，过d作直线交ab、ca延长线于e、f，当时。
求证： 简析：根据图形条件与已知中的在同一三角形，不在同一三角形里，且要证明的结论be与cf也不在同一三角形中，要证明结论就需要把相应的线段移动到同类图形中，并且能利用这些条件形成新的图形关系，以便达到求解的目的。
证明：如图，过c点作cm//ab交fd延长线于m点。则。因。
所以。则。
所以。在与中。所以。故。
所以。例7. 如图，矩形abcd中，e是bc中点，，确定与的比值。
简析：要确定这两个图形的面积的比值，就需要找到一个可以沟通这两个图形之间关系的面积，由于连结了bd，那么就是它们之间的桥梁，剩下的问题就需要研究四边形befd的面积与面积之间的关系了，这时解读好e是bc中点及就是关键。
解：连结。由面积关系可知，同理，有。
所以，有及。
即。所以，
故。例8. 已知：如图，中，d是bc上一点，，。
求证： 证法一：过b点作交ad延长线于f
则及。在与中，所以。则。因为。
则。即。
证法二：过d点作交ab于f。（如图）则及。因。
故。在与中。则。所以。
又因。则。
即。例9. 求证：同垂直于一条直线的两条直线平行。
已知：如图，于a，于b
求证：m与n平行。
证明：假设m与n不平行。
即设m与n相交，且交于p点。
因为且。所以，过p点有两条直线与已知直线垂直。此结论与“过一点有且仅有一条直线与已知直线”相矛盾，所以假设不成立。
所以。例10. 已知：
如图，在直角坐标系中，四边形aocb是正方形，点c的坐标为（2，0），你能否在bc上找到一点e，使正方形沿直线ae对折后，点b落在正方形内部的f点处，且使该点与正方形的四个端点的连线构成四个等腰三角形，试确定的度数并求出f点的坐标。
解：如图（1），作ab中垂线mn
以b为圆心，bc为半径作圆，交mn于f点。
为等边三角形， 过作轴于g
如图（2）（，1）
（解法略）模拟试题】（答题时间：45分钟）
一。 选择题：
（1）与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的（ ）
a. 三条中线的交点b. 三条高的交点。
c. 三条角平分线的交点d. 三条边的垂直平分线的交点。
（2）三角形内到三角形各边的距离相等的点必在三角形的（ ）
a. 中线上b. 角平分线上。
c. 高上d. 边的垂直平分线上。
（3）下面命题中，假命题是（ ）
a. 矩形的对角线相等。
b. 菱形的对角线互相垂直。
c. 正方形的对角线相等且互相平分。
d. 梯形的对角线互相平分。
（4）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
a. 对角线互相平分b. 对角线相等。
c. 对角线互相垂直d. 对角线平分一组对角。
二。 填空题：
（1）如图，直线与直线分别交于点b和c，，若，则___度。
（2）如图，中，cd平分，则___度度。
（3）正方形是轴对称图形，它有___条对称轴。
（4）如图，已知abcd是梯形，ab//cd，与互余，，e、f分别是ab、cd的中点，则。
三。 解答题：
1. 如图，中，
求证： 2. 如图，已知等边中，o是内心，扇形mon的圆心角为。若，求阴影部分的面积。
3. 如图，梯形abcd中，ad//bc，e是ab中点，于f。
求证：。4. 如图，点d是的ab边上的一点，，。求的度数。
5. 在直角三角形abc中，，ad、be是的中线，且，，求ab的长。
6. 已知：如图，直线，求证：
证明：假设ab与cd不平行，则直线ab与cd___设它们的交点为p。
则经过点p就有___条直线和直线ef平行。
这就与经过直线外一点___直线和已知直线平行相矛盾。
所以假设不能成立，则。
7. 如图，四边形abcd，请以此图形及其面积为条件，求作一个三角形，使这个三角形的面积等于四边形abcd的面积。
试题答案】一。 选择题：
（1）d （2）b （3）d （4）b
二。 填空题：
三。 解答题：
1. 简析：要根据条件中的说明与的关系，由于没有相应的定理支持，需要考虑能利用的知识，我们只学习过“三角形外角大于任意一个不相邻的内角”。
因此，需要我们利用几何变换移动其中一个角的位置，重新构成图形关系。
证明：因为，在ab上截取一点e，使，作的平分线交bc于d，连de。
则。在与中，所以。故。因为。
所以。2. 解：连结ob、oc，过o点作于f
因为o点是的内心。
所以bo、co是角分线。
则及。又因。
所以。在与中，所以。则。又。
故f点是bc中点。即。则。
因为。则。
即。3. 证明：过e点作gh//dc交da延长线及cb于g、h
因。故四边形ghcd是平行四边形，且。
又e是ab中点，有。
所以。所以。又因。则。
4. 解：因为所以。
同理。所以。
又，所以。于是。
5. 解：设，因为ad、be是的中线，所以。
又，故。所以。
所以。6. 相交，两，有且只有一条。
7. 简析：要使一个四边形的面积化为三角形的面积，一般讲解决的方法是这样的，如果四边形的面积是确定的，可以利用面积的数量关系来达到转化的目的，但是此例中四边形是一个任意的四边形，因此，用计算的办法就达不到转化的目的，这时只能借助“等积变形”的方法实现。
“变形”的含义是指不改变其大小只改变形状的变形，那么就需要考虑哪个知识可以实现这种变形，根据上面的例题的求解可知利用平行线就可以达到目的。
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