九年级数学证明（二）、（三）学案姓名：
一、 复习准备。
内容分析。证明（二）（三）是在八年级学习证明（一）的基础上的延续和深化，也是后续学习的重要基础，更是中考的必考内容，本部分的重点是要求会用分析法、综合法、两头凑发证明与全等三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、特殊平行四边形、等腰梯形等有关的问题。
复习目标。1、 经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理证明的意识和能力。
2、 了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和格式。
3、 结合实例体会反证法的意义，了解逆命题的概念，会识别互逆的两个命题。
4、 能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线，已知底边和底边上的高会作等腰三角形。
5、 能够利用综合法证明与全等三角形、等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线等有关的性质定理、判定定理及相关的结论。
6、 熟练掌握平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等有关的性质定理与判定定理，并会用这些定理进行有关的证明与计算。
知识结构。二、 复习过程。
专题。一、全等三角形。
知识整理。1、 全等三角形的判定。
公理①：三边的两个三角形全等；公理②：两边及其夹角的两个三角形全等；公理③：
的两个三角形全等；推论的两个三角形全等。
2、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边对应角。
典例分析。例：（2024年吉林）如图1，在△abc中，∠acb=90°，ac=ｂｃce⊥be，ce与ab相交于点f，ad⊥cf，垂足为d，且ad平分∠fac，请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。
（图1）练习1
1、（2024年同仁）如图2，△abc≌△def，be=4，ae=1，则de的长是。
a）5（b）4（c）3（ｄ）2
2、（2024年金华市）如图3，在△abc中，d是bc边上的点（不与b，c重合），f，e分别是ad及其延长线上的点，cf∥be。请你添加一个条件，使△bdc≌△cdf（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明。
1）你添加的条件是：
2）证明：专题。
二、等腰三角形。
知识整理。1、等腰三角形的性质：（1）定理：等腰三角形的两个底角 ，简称。
2）推论：等腰三角形的顶角平分线互相重合，简称。
2、等腰三角形的判定的三角形是等腰三角形，简称。
3、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角且每个内角都等于。
4、等边三角形的判定：（1）有一个角为60°的是等边三角形；
2）三个角都的三角形是等边三角形。
典例分析。例：（2024年宜宾）已知：如图1，在rt△abc中，∠c=90°，过点b作bd∥ac，且bd=2ac，连接ad。试判断△abd的形状，并说明理由。
练习21、（2024年宁波）如图2，在△abc中，ab=ac，∠a=36°，bd，ce分别是△abc，△bcd的角平分线，则图中的等腰三角形有。
2、如图3所示，已知△abc和△dce均是等边三角形，点b，c，e在同一条直线上，ae与bd交于点o,ae与bd交于点f，连接oc，fg，则下列结论：①ae=bf;②ag=bf；③fg∥be，其中正确结论的个数为（ ）
a个；b、1个；c、2个；d、3个。
专题。三、线段的垂直平分线和角平分线。
知识整理。1、线段垂直平分线定理及其逆定理：线段垂直平分线上的点到的距离相等；到
的点在这条线段的垂直平分线上。
2、角平分线的性质定理及其逆定理：角平分线上的点到距离相等；在角的内部，到。
距离相等的点在这个角的平分线上。
3、三角形的三边垂直平分线、角平分线的性质定理：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这点到三角形的的距离相等；三角形的三个角的平分线相交于一点，这点到三角形的的距离相等；
典例分析：例（2024年益阳）如图1，已知△abc，求作一点p，使p到∠a两边的距离相等，且pa=pb，下列确定p点的方法正确的是。
a、 p为∠a，∠b两角平分线的交点；
b、 b、p为∠a角平分线与ab的垂直平分线的交点；
c、p为ac，ab两边上的高的交点；
d、p为ac，ab两边的垂直平分线的交点；
练习31、（2024年义乌）如图2，直线cd是线段ab的垂直平分线，p为直线cd上的一点，已知线段pa=5，则线段pb的长度为。
a、6；b、5；c、4；d、3
2、如图3所示，在△abc中，ac=bc，∠c=90°，ad是∠bac的平分线，cd=，求bd的长。
专题。四、直角三角形。
知识整理。1、 直角三角形的性质和判定。
直角三角形的性质：（1）勾股定理： ；
即。2）直角三角形中，30°角所对的直角边等于。
3）直角三角形斜边上的中线等于。
直角三角形的判定定理：
1）逆定理：若一个三角形中则这个三角形是直角三角形。
2）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是。
2、直角三角形的全等和对应相等的两个直角三角形全等，简称“hl”定理。
典例分析：例题（2024年菏泽市）如图1所示，在rr△abc中，∠c=90°，∠a=30°，bd是∠abc的平分线，cd=5cm，求ab的长。
练习41、（2024年绥化市）在rt△abc中，∠bac=90°，ab=ac=2，以ac为一边，在△abc外部作等腰直角三角形acd，则线段bd的长为提示：分三种情况）
2、（2024年三明市）如图2，△acb和△ecd都是等腰直角三角形，∠acb=∠ecd=90°，d为ab边上一点。
1）求证：△ace≌△bcd；
2）若ad=5，bd=12,求de的长。
专题。五、平行四边形。
知识管理。1、平行四边形的两组对边两组对角两条对角线夹在两条平行线之间的平行线段对称性：平行四边形是图形。
2、两组对边分别的四边形，或两组对角分别的四边形，或一组对边的四边形，或两条对角线的四边形是平行四边形。
典例分析。例（2024年怀化市）如图1，平行四边形abcd的对角线相交于点o，直线ef经过点o，分别与ab，cd的延长线交于点e，f。
求证：四边形aecf是平行四边形。
练习51、（2024年清远市）如图2，在□abcd中，已知∠oda=90°，ac=10cm，bd=6cm，则ad的长为（ ）
a）4cm （b）5 cm （c）6 cm （d）8 cm
2、如图3，已知在□abcd中，ae=cd，m，n分别是be，df的中点。
求证：四边形mfne是平行四边形。
专题。六、特殊平行四边形。
知识整理。1、有一组邻边的平行四边形是菱形；四条边的平行四边形是菱形；对角线的平行四边形是菱形。
2、有一个角是是矩形；四个角或有三个角是 ）的四边形是矩形；对角线的平行四边形是矩形。
3、有一组邻边且有一个角是的平行四边形是正方形，它既是特殊的菱形又是特殊的矩形。
典例分析。例（2024年眉山市）如图1，o是矩形abcd对角线的交点，de∥ac，ce∥bd。
1） 试判断四边形oced的形状，并说明理由；
2） 若ab=6，bc=8，求四边形oced的面积。
练习61、（2024年芜湖市）下列命题中是真命题的是（ ）
a）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（b）有两边和一角对应相等的两个三角形全等。
c）两条对角线相等的平行四边形是矩形 （d）两边相等的平行四边形是菱形。
2、（2024年常州市）如图2，在△abc中，ab=ac，d是bc的中点，四边形abde是平行四边形，求证：四边形adce是矩形。
1）求证：△bcg≌△dce;
2）将△dce绕点d顺时针旋转90°得到△dae’，判断四边形e’bgd是什么特殊四边形？并说明理由？
专题。七、三角形的中位线和等腰梯形。
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