初三数学培优学案5—二次函数基本知识。
一、二次函数基础知识点总结。
1.定义：一般地，如果是常数那么叫做的二次函数。
2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式。
3.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
4. 二次函数平移规律： 左加右减上加下减
设函数为， 那么左加右减是加减在___上，指的是___上
上加下减是加减在___上，指的是___上。
5.二次函数用配方法可化成：的形式，顶点是，对称轴是直线。
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口___当时，开口___
相等，抛物线的开口大小、形状___
平行于轴（或重合）的直线记作。特别地，轴记作直线。
7.求抛物线的顶点、对称轴的方法。
1）公式法：，顶点是，对称轴是直线。
2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)对称轴是直线。
8.抛物线中，的作用。
1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。
2）和共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线的对称轴是直线。
故：①时，对称轴为___即、同号）时，对称轴在轴___即、异号）时，对称轴在轴___口诀。
3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，__抛物线经过与轴交于___与轴交于___
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立。如抛物线的对称轴在轴右侧，则。
11.用待定系数法求二次函数的解析式。
1）一般式已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。
2）顶点式已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。
12.直线与抛物线的交点。
1）轴与抛物线得交点为(0
2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,)
3）抛物线与轴的交点。
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根。抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点___抛物线与轴___
②有___交点（顶点在轴上）__抛物线与轴___
③没有交点___抛物线与轴___
4）平行于轴的直线与抛物线的交点。
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。
5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有___交点； ②方程组只有___解时与只有一个交点；③方程组无解时与___交点。
6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故。
二、典型例题与变式。
考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图像交于点．（1）求、的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标。
考点2.抛物线与a、b、c的关系。
例2 已知的图象如图1所示，则的图象一定过（ ）
a．第。一、二、三象限 b．第。
一、二、四象限。
c．第。二、三、四象限 d．第。
一、三、四象限。
考点3.二次函数的平移。
例3 把抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
变式练习：1.对于抛物线y=x2+x，下列说法正确的是（ ）
a.开口向下，顶点坐标为（5，3） b.开口向上，顶点坐标为（5，3）
c.开口向下，顶点坐标为（-5，3） d.开口向上，顶点坐标为（-5，3）
2.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ）
a.抛物线开口向上b.抛物线的对称轴是x=1
c.当x=1时，y的最大值为-4 d.抛物线与x轴交点为（-1，0），（3，0）
3.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是___
4.小明从图2所示的二次函数的图象中，观察。
得出了下面五条信息：①；
；⑤，你认为其中正确信息的个数有。
___填序号）
考点4.根据实际问题模型确定二次函数表达式。
例4 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长。
度不限）的矩形菜园，设边长为米，则菜园的面积。
单位：米）与（单位：米）的函数关系式为 （不要求。
写出自变量的取值范围）．
考点5.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式。
例5 已知抛物线的图象以a（-1，4）为顶点，且过点b（2，-5），求该抛物线的表达式。
例6 已知一抛物线与x轴的交点是a（-2，0）、b（1，0），且经过点c（2，8）.
1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。
变式练习：1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击。
为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价。若设平均每次降价的百分率是x，降价后的**为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（ ）
2.如图2，在平而直角坐标系xoy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于a、b
两点，点a在x轴负半轴，点b在x轴正半轴，与y轴交于点c，且。
oa:oc=，co=bo，ab=3，则这条抛物线的函数解析式是。
3.对称轴平行于y轴的抛物线与y轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，求此抛物线的关系式。
4.二次函数的图象经过点，，．
1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位，使得该图象的顶点在原点．
考点6.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围。
例7 根据下列**中二次函数y=ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c,为常数）的一个解的范围是（ ）
考点7.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根。
例8 已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x的一元二次方程-x2+3x+m=0的解为___
考点8.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况。
例9 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的。
交点的个数是（ ）
a.3 b.2 c.1 d.0
变式练习：1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是___
2.已知二次函数的部分图象如图2所示，则关于的一元二次方程的解为。
3.已知函数的图象如图3所示，那么关于的方程。
的根的情况是（ ）
a.无实数根b.有两个相等实数根。
c.有两个异号实数根d.有两个同号不等实数根。
4. 二次函数的图象如图4所示，根据图象解。
答下列问题：（1）写出方程的两个根．
2）写出不等式的解集．
3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
年九年级数学二次函数培优题
二次函数培优。1.如果函数的图像经过平面直角坐标系的四个象限，那么的取值范围是 2.已知二次函数y ax2 bx c中，函数y与自变量x的部分对应值如表 则当y 5时，x的取值范围是。3.如图，平行于x轴的直线ac分别交函数 x o 与 x 0 的图象于b c两点，过点c作y轴的平行线交y1的图象于...
九年级培优训练 二次函数
第三讲方程判别式根与系数与几何相结合问题。一 与方程相结合 1 如图正方形abcd中，ab 6，点e在边cd上，将 ade对折至 afe，若bf cf，求ae的长 2 如图 abc三边长为a b c，且关于x的方程有两个相等的实数根 1 判断 abc的形状 2 cd平分 acb，且ad bd，ad ...
《二次函数》九年级数学教学案例
二次函数 教学案例。一 教学内容 怎样求二次函数解析式。二 教学重点 求二次函数解析式的几种方法。难点 二次函数解析式的求法。三 教学案例过程 问题 已知二次函数的图象过点 1,0 与y轴交与点 0,3 对称轴是直线x 2,求它的函数解析式。给学生充分的思考时间，让他们讨论交流，然后找小组代表发言。...