第26章二次函数。
26.1二次函数及其图像。
一、.二次函数定义：
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。
例：如果函数是二次函数，那么m的值为。
解题思路：由二次函数定义则m=0
同步练习】、在圆的面积公式 s＝πr2 中，s 与 r 的关系是（ ）
a、一次函数关系 b、正比例函数关系 c、反比例函数关系 d、二次函数关系。
、已知函数 y＝(m＋2)是二次函数，则 m 等于（ ）
a、±2 b、2 c、－2 d、±
答案： 二、二次函数的图像。
1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴。
2）函数的图像与的符号关系。
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
当时抛物线开口向下顶点为其最高点。
3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为。
例：二次函数与一次函数的图象相交于点（—1，—1）。
1）求二次函数解析式为，2）求若一次函数的图像还过点（2、-3），求一次函数解析式。
3）求二次函数和一次函数的图像另一个交点为。
同步练习】1、将抛物线 y＝2x2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为＿＿＿
2、把抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是( )
a、 b、 c、 d、
三、二次函数的图像。
的图象———的图象。
的图象。例：已知二次函数，1) 用配方法把该函数化为(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式，并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标。
2) 求函数的图象与x轴的交点坐标。
同步练习】1、将 y＝x2－2x＋3 化成 y＝a (x－m)2＋k 的形式，则 y
2、抛物线的顶点坐标是对称轴是开口向___
3．抛物线的开口方向是对称轴是 ；顶点为 。
4.已知二次函数。
1）用配方法化为的形式。
2）写出它的顶点坐标和对称轴，并画出它的图象。
3）根据图像指出：
当取何值时，随值的增大而减小。
②当取何值时，有最大（小）值，值是多少？
四、二次函数。
1、二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线。
2、二次函数用配方法可化成：的形式，其中。
例、请研究二次函数的图象和性质：
开口方向。对称轴。
顶点坐标。图象与x轴的交点坐标。
图象与y轴的交点坐标。
图象与y轴的交点关于对称轴的对称点的坐标。
用五点法画函数的草图。
求这个函数的最值，当x= 时。
当时；y=0，当时，y>0；当时，y<0。
图象在x轴上截得的线段的长是。
求图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积。
根据图像回答：当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小。
同步练习】、把抛物线y＝先向平移个单位，再向平移个单位的。
2.二次函数的最小值是（ ）
a.－2b.2 c.－1 d.1
3.二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
a.（1,3） b.（－1,3） c.（1,－3） d.（－1,－3）
五、用待定系数法求二次函数的解析式。
1、二次函数解析式的三种形式：
一般式：，顶点坐标对称轴：直线。
当x= 时。
顶点式：，顶点坐标。
对称轴：直线。
当x= 时。
两根式：，其中是=0的两个实数根，图象与x轴的两个交点坐标为和。
例1：如图，二次函数的图象与轴交于a、b两点，与轴交于点c，点c、d是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点b、d．
1）求d点的坐标．
2）求一次函数的解析式．
3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的的取值范围．
例2：（2008江苏镇江）二次函数的图象经过点，，．
1）求此二次函数的关系式；
2）求此二次函数图象的顶点坐标；
3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位，使得该图象的顶点在原点．
同步练习】1．已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
1）求这个二次函数的解析式；
2）写出它的对称轴和顶点坐标。（2004常州）
2．已知二次函数的图象经过点（2，0）、（1，6）。
1）求二次函数的解析式；
2）画出它的图象；
3）写出它的对称轴和顶点坐标。
2003常州）
3.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为，0,时， 相应的输出值分别为5, ,
1）求此二次函数的解析式；
2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围。
26.2用函数观点看一元二次方程。
求二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即令y=0，求出方程ax2＋bx＋c=0的两个实数根，这两个根就是焦点的横坐标。从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，例1.已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为：
例2.抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点a（－3，0），对称轴为x=－1，顶点c到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．
例3．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
1）求m的取值范围；
2）判断点p（1，1）是否在抛物线上；
3）当m=1时，求抛物线的顶点q及p点关于抛物线的对称轴对称的点p′的坐标，并过p′、q、p三点，画出抛物线草图．
同步练习】1、抛物线与轴有个交点，相应二次方程的根的情况为 ．
2、关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时 ．
3、根据下列**中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
a．64、画出函数的图象，根据图象回答下列问题．
1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？
3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？
26.3实际问题与二次函数。
例1、(2008 山东聊城)如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．
例2、（2024年山东省青岛市）某服装公司试销一种成本为每件50元的t恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
1）求与之间的函数关系式；
2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额总成本）为p元，求p与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，p的值最大？最大值是多少？
同步练习】1. 已知抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c．是否存在实数a，使得△abc为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
2. 某广告公司要为客户设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？
3．利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行**．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
4．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面ab的宽是20米，如果水位上升3米时，水面cd的宽为10米。
(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式。
2)现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥为280千米(桥长忽略不计)，货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续**(货车接到通知时水位在cd处)，当水位达到桥拱最高点o时，禁止车辆通行。试问：
汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米/时？
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