2019-2023年七年级数学培优讲义竞赛辅导第4讲奇数与偶数。
一、定义。被2整除的整数叫做偶数，记作2n (其中n是整数)有0，±2，±4，±6，…不能被2整除的整数叫做奇数，记作2n + 1 (其中n是整数).有±1，±3，±5，…二、性质。
1、偶数±偶数=偶数；奇数±奇数=偶数；奇数±偶数=奇数可以概括为——加上偶数不改变奇偶性；加上奇数改变奇偶性奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数可以概括为——乘以偶数都得到偶数；乘以奇数不改变奇偶性。
2、反之：设a,b皆为整数，若a±b为偶数，则a,b的奇偶性相同；若a±b为奇数，则a,b的奇偶性相反。
3、奇数个奇数之和（或差）是奇数；偶数个偶数之和（或差）是偶数。
4、任意n个奇数的积仍是奇数，奇数的n次幂是奇数。反之，若n个数的积为奇数，则这n个数均为奇数。
5、若任意有限个整数中至少有一个偶数，那么它们的积是偶数[比较：一组数相乘，其中有一个为0，则结果为0。]；反之，任意有限个整数之积是偶数，则这些因数中至少有一个偶数。
．．三、练习：你必须给与每个问题足够的思考时间，尝试自己解决它们]1、设a,b,c,d均为整数，且a+b+c+d=奇数，求证：a,b,c,d至少有一个奇。
2、a,b,c,d均为整数，求证：a+b+c+d与a-b-c+d的奇偶性相同。
3、元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的良好祝愿。“无论人数是多少，用于交换的贺卡的张数总。
是偶数。”这句话正确吗？试说明你的理由。
4、设a、b、c中有2个奇数，一个偶数，试说明(a+1)(b+2)(c+3)一定是偶数。
5、设a、b是自然数，且满足关系式123456789=（11111+a）(11111-b),说明a-b是4的倍数。
6、黑板上写着三个整数，任意檫去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到3，1993，xx，问原来的三个数能否是2，2，2？
7、一个俱乐部里的成员只有2种人：一种是老实人，永远说真话；一种是**，永远说假话。某天俱乐。
部里的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是**，每个**两旁都是老实人。外来一未记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？
”张三回答：“共有45人。”另一个成员李四说：
“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是**？
8、已知n为整数，现有两个代数式：（1）2n+3,（2）4n-1,其中，能表示“任意奇数”的（）
a．只有（1）b．只有（2）c．有（1）和（2）d．一个也没有。
9、将自然数1，2，3，…，xx，xx中的任意多个数添上负号，记这时的xx个数之和的绝对值s，那么（）
a．s总是偶数b．s总是奇数c．当n为偶数时，s是偶数；当n为奇数时，s是奇数d．的奇偶性不能确定，它与的值及所选取添加负号的数有关。
10、如图，为一所房子的示意图，数字表示房间号码。每个房间有门与隔壁相通，小明要从1号房间开始不重复地走遍这9个房间，最后回到1号房间，能否做到？为什么？
11、某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分。证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数。
12、设a,b,c都是整数，且2∣（a+b+c）,证明a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a都是偶数。13、设为1，2，…,xx的任意一个排列，试证明：
a11)(a22)..a20052005)(a11)(a22)..a20052005)一定是偶数。
14、你能找到三个整数a,b,c，使得关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由。
2019-2023年七年级数学培优讲义竞赛辅导第5讲质数与合数。
一、概念。质数：一个大于1的整数a，如果只有1和a这两个约数，那么a就是质数，也叫做素数；如果除了1和a之外还有其他正约数，则a叫做合数。
1既不是质数也不是合数。二、性质。
1、合数有无穷多个2、质数也有无穷多个。
证明：假设只有有限多个质数：，构造一个数。
是一个新的质数，若不然，n是一个合数，则n可以被中的某一个质数整除，而，因此1可被整除，矛盾！
注：.叫做n的阶乘。
这是一个存在性的证明，即人们知道质数有无穷多个，但至今为止，人们找到的质数还是有限个。现在人们正借助于网络计算机寻找越来越大的质数。
3、质数2是唯一的偶质数，也是最小的质数。解题中需要经常想到这一点。
4、如果质数p|ab，则p|a，或p|b.但是如果p不是质数，一般不具有这个性质。例如6|4×9=36，但是6不能整除4或者9。1．试判别359是不是质数。
分析：若359有一个大于19的约数，则必有一个小于19的约数，因此只要对359逐个用不超过19的质数检验，看能否整除。
2．求质数p,使得p+10和p+14都是质数。
分析：试验——猜想——证明，是创造性思维的一种方法。本题需要分类讨论。
3．将、…xx这xx个数随意排成一行，得到一个数n，那么n是质数还是合数？
分析：需要抓住一种不变性——不管数字次序如何，所有数字的和都是确定的，而这个和是3的倍数。
4．已知3个不同的质数a,b,c满足那么a+b+c的值等于___
分析：本题用到质数2的特殊性，需要用到分解质因数。
5．自然数n至少含有2个大于10的质因数，那么n的最小值是___
6．3599是质数还是合数？
7．用任意组成一个五位数，所得的数中有几个质数？
8．p是质数。+2也是质数，则1997+__
9．3个不同的质数m，n,p满足m+n=p，则mnp的最小值是___
10．已知三个质数m,n,p的乘积等于它们的和的5倍，则___
11．2个质数的和为1995，则它们的积是___
12．a,b,c,d,e是5个质数，其中a13．已知正整数p,q都是质数，且7p+q与pq+11都是质数，试求p,q的值。
14．(1)是否存在连续４个正整数，他们均为合数？若存在，求出其中一组最小值；若不存在，说明理由(2)写出10个连续的正整数，使其中每个都是合数。
15．某书店积存了若干画片，按照每张5角**，无人购买，现决定按照成本价**，一下子全部售出，共卖了31元9角3分，问一共有多少张画片？
数学阅读——亲和数。
给定两个数m和n，若m除它本身外的所有因子之和等于n，而n除它本身外的所有因子之和等于m，我们就称m和n是一对亲和数，公元前6世纪的毕达哥拉斯最先发现了第一对亲和数220和284，因为220=1＋2＋4＋71＋142，284=1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110．亲和数之所以取此名，它象征着友谊，当别人问及毕达哥拉斯“朋友是什么”时，他答道：“是另一个我，可用亲和数表示．”
发现第二对亲和数与第一对亲和数的间隔竞是那么长远！直到2023年，费马才发现了第二对亲和数17296和18416．阿拉伯数学家泰比特·伊本给出一个寻找亲和数的法则：n＞1，若a=3·2n－1，b=3·2n-1－1，c=9·22n-1－1全为素数，则2nab和2nc就是一对亲和数．如当n=2时就产生了220和284．第三对亲和数是笛卡尔于2023年提出的：
9363584和9437056．2023年，欧拉提出了64对亲和数，后来人们验证有两对错了．2023年尼古拉发现1184和1210是一对亲和数，这是十分有趣的事情．人们从希腊时期就开始寻找亲和数，无数数学家为之花费了大量的精力和心血，并发现了大得多的亲和数，而这一对小亲和数直到此时才被发现，我们无不为尼古拉所做的巨大成就及付出的艰辛劳动所惊叹！
现在人们已知道上千对亲和数，其中最大的一对是莱尔在2023年发现的两个152位数：m=34·5·11·528119·29·89(2·1291·528119－1)，n=34·5·11·528119(23·33·52·1291·528119－1)，随着计算工具和程序设计的不断发展和改进，人们必将发现越来越多的亲和数．
七年级数学培优讲义竞赛辅导第2讲绝对值
初一数学培优讲义第2讲绝对值。1 绝对值的非负性 2 如何化简含有绝对值的式子 3 利用绝对值求最大值或者最小值。在后继课程中，我们还有将绝对值与不等式 函数 方程等知识联系起来。绝对值的基本性质 1 这是化简绝对值的根据 2 称为绝对值的非负性。这是由绝对值的几何意义决定的。绝对值最小的数为0，因...
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名师点拨学校七年级数学辅导讲义。速度的变化。知识要点 会用语言描绘图象所表示的变化过程，加强从图象中获得信息的能力及有条件地进行语言的表达能力，明确路程s，速度v，时间t的关系。s vt或在式子s vt中，当速度v一定时，路程s随时间t的变化而变化，其中路程是因变量，时间是自变量。思维拓展 用图象表...
浙教版七年级数学培优竞赛讲义 不定方程
不定方程。不定方程 组 是指未知数的个数多于方程的个数的方程 组 其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定。重要定理 设a b c d为整数，则不定方程有 定理1 若且d不能整除c，则不定方程没有整数解 定理2 若是不定方程且的一组整数解 称为特解 则 t为整数 是方程的全部整数解 称为通解 其中，且...