2019-2020学年度九年级数学培优讲义：
相似三角形的性质及应用。
学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
要点梳理】要点。
一、相似三角形的应用。
1.测量高度。
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决。
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法。
2.测量距离。
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段dc、bd、ce的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出ab的长。
2．如乙图所示，可先测ac、dc及de的长，再根据相似三角形的性质计算ab的长。
要点诠释：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离；
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比；
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
要点。二、相似三角形的性质。
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比。
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。
3. 相似三角形周长的比等于相似比。
∽，则。由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。，则分别作出与的高和，则。
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。
典型例题】类型。
一、相似三角形的应用。
1. 在斜坡的顶部有一铁塔ab，b是cd的中点，cd是水平的，在阳光的照射下，塔影de留在坡面上。已知铁塔底座宽cd=12m，塔影长de=18m，小明和小华的身高都是1.
6m，同一时刻，小明站在点e处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高ab为（ ）
a.24m b.22m c.20m d.18m
答案】 a.
解析】过点d做dn⊥cd交光线ae于点n，则，dn=14.4，又∵am:mn=1.
6:1，∴am=1.6mn=1.
6bd=1.6×6=9.6(m).
塔高ab=am+dn=14.4+9.6=24(m)，所以选a.
总结升华】解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度．
举一反三：变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.
5m宽的亮区de.亮区一边到窗下的墙脚距离ce=1.2m，窗口高ab=1.
8m，求窗口底边离地面的高度bc.
答案】作ef⊥dc交ad于f.
ad∥be，∴
又∵，∴∵ab∥ef， ad∥be，四边形abef是平行四边形，ef=ab=1.8m.
∴m.2. （2015春江津区校级月考）如图，直立在b处的标杆ab=2.
4m，直立在f处的观测者从e处看到标杆顶a、树顶c在同一条直线上（点f，b，d也在同一条直线上）．已知bd=8m，fb=2.5m，人高ef=1.5m，求树高cd．
答案与解析】解：过e作eh⊥cd交cd于h点，交ab于点g，如下图所示：
由已知得，ef⊥fd，ab⊥fd，cd⊥fd，eh⊥cd，eh⊥ab，四边形efdh为矩形，ef=gb=dh=1.5米，eg=fb=2.5米，gh=bd=8米，ag=ab﹣gb=2.
4﹣1.5=0.9米，eh⊥cd，eh⊥ab，ag∥ch，△aeg∽△ceh，=，解得：
ch=3.78米，dc=ch+dh=3.78+1.
5=5.28米．
答：故树高dc为5.2米．
总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
类型。二、相似三角形的性质。
3.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为，按如图那样折叠，使点a与点b重合，折痕为de，则s△bce：s△bde等于（ ）
a. 2：5 b．14:25 c．16:25 d. 4:21
思路点拨】相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似。
答案】b.解析】由已知可得ab=10，ad=bd=5，设ae=be=x, 则ce=8-x,在rt△bce中，x2-(8-x)2=62,x=,由△ade∽△acb得，s△bce：s△bde=（64-25-25）：
25=14:25，所以选b.
总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形。
举一反三。变式】在锐角△abc中，ad,ce分别为bc,ab边上的高，△abc和△bde的面积分别等于18和2，de=2,求ac边上的高。
答案】过点b做bf⊥ac,垂足为点f，∵ad,ce分别为bc,ab边上的高，∠adb=∠ceb=90°，又∵∠b=∠b，rt△adb∽rt△ceb,且∠b=∠b，△ebd∽△cba,又∵de=2，ac=6，4.（2015齐齐哈尔）如图，正方形abcb1中，ab=1．ab与直线l的夹角为30°，延长cb1交直线l于点a1，作正方形a1b1c1b2，延长c1b2交直线l于点a2，作正方形a2b2c2b3，延长c2b3交直线l于点a3，作正方形a3b3c3b4，…，依此规律，则a2014a2015
思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到a1b1=，aa1=2，同理：a2a3=2（）2，a3a4=2（）3，从而找出规律答案即可求出．
答案与解析】2（）2014
解：∵四边形abcb1是正方形，ab=ab1，ab∥cb1，ab∥a1c，∠ca1a=30°，a1b1=，aa1=2，a1b2=a1b1=，a1a2=2，同理：a2a3=2（）2，a3a4=2（）3，anan+1=2（）n，a2014a2015=2（）2014，故答案为：
2（）2014．
总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律。
举一反三：变式】如图，已知中，，，点在上与点不重合)，点在上。
1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长。
(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长。
答案】 (1)∵,
(2)∵的周长与四边形的周长相等。,6.,.
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