中考培优课程。
1 二次函数与特殊三角形。
知识目标。模块一二次函数与等腰直角三角形。
知识导航。如图，△abc中，ab=ac，∠bac=90°，可构造如图所示的三垂直全等模型“△acd≌△bae”，从而可以转化为水平线段长度与点坐标的基本计算。
若已知等腰直角三角形三个顶点坐标中的两个便可通过此方法求第三顶点坐标。
一般情况下，已知直角顶点坐标计算量会小很多。
在上述结论的基础上，加上二次函数的背景思路依然不变。
题型一从45度到等腰直角三角形。
知识导航。二次函数中经常会出现45度的条件，其中有一种常见思路就是把45度放入直角三角形中就变成了等腰直角三角形，再利用三垂直的算法就可以达到解题的效果。
例1如图，抛物线y=ax2+bx－4a经过a(－1，0)、c(0，4)两点，与x轴交于另一点b.点d(3，4)在第一象限的抛物线上，点p为抛物线上一点，且∠dbp=45°，求点p的坐标。
练习。如图，抛物线y=x2－4x+3与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，连接ac，将直线ac向右平移交抛物线于点p，交x轴于q点，且∠cpq=135°，求直线pq的解析式。
例2如图，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于a、b两点，交y轴正半轴于点c，d为抛物线的顶点，在抛物线上有一动点p，使得∠pcb=∠cbd，求点p的坐标。
练习。如图，抛物线y=x2－4x+3与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，连接ac，在抛物线上有一动点p，使得∠pcb=∠aco，求点p的坐标。
题型二等腰直角三角形分类讨论。
例3如图，抛物线y=ax2－2ax－3a(a≠0)交x轴于a、b两点(a在y轴左侧)，交y轴正半轴于点c，且oc=3oa.
1)求此抛物线的解折式；
2)设点p的坐标为(t，1)，将线段ap绕点p逆时针旋转90°得线段pa1，若a1在抛物线上，求点p的坐标；
练习。若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线c1：y1=－2x2+4x+2与抛物线c2：y=－x2+mx+n为“友好抛物线”.
1)求抛物线c2的解析式。
2)设抛物线c2的顶点为c.点b的坐标为(－1，4)，问在c2的对称轴上是否存在点m，使线段mb绕点m逆时针旋转90°得到线段mb′，且点b′恰好落在抛物线c2上？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由。
例42o15年粮道街月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点a(－1，0)和点b(1，0)，直线y=2x－1与y轴交于点c，与抛物线交于点c、d.
1)求抛物线的解折式；
2)求点a到直线cd的距离；
3)平移抛物线，使抛物线的顶点p在直线cd上，抛物线与直线cd的另一个交点为q，点g在y轴正半轴上，当以g、p、q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的g点坐标。
练习。己知抛物线y=mx2+2mx+n交x轴于a、b两点，交y轴于c(0，3)，顶点为d.且ab=4.
1)求抛物线的解析式：
2)点p为对称轴右侧抛物线上一点，点s在x轴上，当△dps为等腰直角三角形时，求点p的坐标。
模块二二次函数与直角三角形。
题型一直角(垂直)与二次函数综合。
知识导航。1)勾股定理+两点间距离公式。
直接设点的坐标，利用两直角边的平方和等于斜边的平方结合距离公式列方程计算∠abc=90°ab2+bc2=ac2，2)特殊的几何性质。
1、斜边中线：若∠abc=90°，亦可取斜边ac中点d，利用bd=ac列方程求解。
2、特殊的角度：比如斜率为1的直线，会产生45度角度，进而产生角平分线或者等腰直角三角形。
3)旋转+等腰直角三角形+三垂直全等。
如图，将线段ab绕点b顺时针旋转90度至ba′的位置，则此时△aba′为等腰直角三角形，可利用三垂直全等求出点a'的坐标，再把直线ba′和抛物线联立即可解得点c的坐标。
4)三垂直相似(九下的重点)
构造如图所示辅助线，则△abd∽△bce，则adce=dbbe
例5抛物线y=－x2+2x的顶点为m，o为坐标原点，点p为第四象限的抛物线上一点，且∠pom=90°，求点p的坐标。
练习。如图，二次函数图象顶点坐标为p(2，－1)，与x轴相交于点a和点b(3，0)，点q为第一象限的抛物线上一点，且aq⊥ap，求点q的坐标。
例6如图，已知抛物线y=a(x－1)2+4与x轴交于a，b两点(点a在点b的左边)，与y轴交于点c，点d为抛杓线的顶点，已知cd=.
1)求抛物线解折式；
2)若点p为线段上一点(不与b，c重合)，过p作pm平行于y轴，交抛物线于点m，交x轴于点n，当△bcm的面积最大时，求n点的坐标；
3)若将(1)中的抛物线向上平移m(m＞0)个单位，与直线cd交于点g、h两点，设平移后的抛物线的顶点为e.是否存在实数m，使得gh⊥eh?若存在，请求出m的值；若不存在。
请说明理由。
题型二直角三角形与二次函数。
例7二次函数y=a(x2－2mx－3m2) (其中a，m为常数，且a＞0，m＞0)的图象与x轴分别交于a、b(点a位于点b左侧)，与y轴交于点c(0，－3)，点d在二次函数图象上，且cd∥ab，连ad，过a作射线交二次函数图象于点e，使ab平分∠dae.
1)当a=1时，求点d的坐标；
2)证明：无论a、m取何值，点e在同一直线上运动；
3)设该二次函数图象顶点为f，试**：在x轴上是否存在点p，使以pf、ad、ae为。
边构成的三角形是以ae为斜边的直角三角形？如果存在，用含m的代数式表示点p的横坐标，如果不存在，请说明理由。
图1备用图。
例8如图，在平面坐标系中，已知点a的坐标是(4，0)，并且oa=oc=4ob，动点p在过a、b、c三点的抛物线上。
1)求抛物线解析式；
2)是否存在点p，使得△acp是以ac为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，说明理由。
第1讲本课后作业。
a基础巩固。
1、已知抛物线y=x2与直线y=－x+1交于a、b两点(a在b的左侧).
1)求a、b两点的坐标；
2)在直线ab的上方的抛物线上有一点d，使得∠dab=45°，求点d的坐标。
2、如图，抛物线y=x2－4x+3与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c.在抛物线上是否存在点p，使得∠pca=90°？若存在，请求出点p的坐标，若不存在，请说明理由。
b综合训练。
3、如图，抛物线y=(x－1)2+n与x轴交于a、b两点，a在b的左侧，与y轴交于c(0，－3).
1)求抛物线的解析式；
2)点p为对称轴右侧的抛物线上一动点，以bp为斜边作等腰直角三角形，直角顶点m正好落在对称轴上，求p点的坐标。
数学故事。古往今来，古今中外，很多人取得了各种成就。取得成就即意味着成功。什么样的人能取得成就？取得成就需要什么条件？
成就的三个层次】
一、取得成就需有明确的目标；
二、在通往成就的道路上克服磨难；
三、在这条路上自我成长，变得更强。
数学+华罗庚。
初中毕业后，华罗庚曾入上海中华职业学校就读，因学费而中途退学，故一生只有初中毕业文凭。
此后，他开始顽强自学，他用5年时间学完了高中和大学低年级的全部数学课程。2023年，他不幸染上伤寒病，靠妻子的照料得以挽回性命，却落下左腿残疾。20岁时，他以一篇**轰动数学界，被清华大学请去工作。
从2023年起，华罗庚在清华大学边工作边学习，用一年半时间学完了数学系全部课程。他自学了英、法、德文，先后在国外杂志上发表了多篇**。2023年夏，华罗庚被保送到英国剑桥大学进修，两年中发表了十多篇**，引起国际数学界赞赏。
2023年，华罗庚访英回国，在昆明郊外一间牛棚似的小阁楼里，他艰难地写出名著《堆垒素数论》。
中考培优课程。
2二次函数与平行四边形。
知识目标。模块一二次函数与平行四边形。
知识导航。1、区别题目的两种说法：
四边形abcd为平行四边形—点序确定；
以a、b、c、d为顶点的四边形为平行四边形—点序不确定；
2、题型分类。
已知三点，求第四顶点；
已知两点，求另外两点；
题型一已知三点，求第四顶点。
知识导航。如图，已知a、b、c三点的坐标，求以a、b、c、d为顶点的四边形为平行四边形的顶点d的坐标．
分类标准：以ab、bc、ac为对角线来讨论：
以ab为对角线，则构成平行四边形acbd1；
以ac为对角线，则构成平行四边形abcd3；
以bc为对角钱，则构成平行四边形acd2b；
计算方法：按照平移规律来计算；全等；例1
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点a(－3，0)，b(1，0)，c(0，3)三点，且抛物线的顶点为p．若以a、p、c、m为顶点的四边形是平行四边形，求点m的坐标．
练习。如图，一次函数y＝－x＋2分别交y轴、x轴于a、b两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过a、b两点．
求抛物线的解析式；
作垂直于x轴的直线x＝t，在第一象限内交直线ab于m，交抛物线于n，求当t为何值时，min有最大值？最大值为多少？
在⑵的条件下，以a、m、n、d为顶点作平行四边形，求第四个顶点d的坐标．
题型二已知两点，求另外两点。
知识导航。1．题目特点：已知两点a、b坐标，另外两点c、d坐标未知(一般在确定的轨迹上运动)
2、解题步骤：
判断点序是否确定；
对已知坐标两点确定的线段ab进行讨论；
ab为对角线—中点公式。
ab为边—平移公式。
例2如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，点p是x轴上一动点，过点p作直线l∥ac交抛物线于点q，若以a、c、p、q为顶点的四边形是平行四边形，求点q的坐标．
例3如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于a(－1，0)，c(2，3)两点，与y轴交于点n，其顶点为d．
求抛物线及直线ac的函数关系式；
九年级数学讲义 培优
二次根式。例1.当x是多少时，在实数范围内有意义？例2.已知y 5，求的值 例3.已知的值。例4.若 2012 a a，求a 20122的值 课堂练习题 1.求下列各式有意义的所有x的取值范围。2.如图，数轴上a,b两点表示的数分别为1和，点b关于点a的对称点为点c，则点c所表示的数是 abcd 3...
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