第一讲一次函数和反比例函数。
知识点、重点、难点。
函数称为一次函数，其函数图像是一条直线。若时，则称函数为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。
当时，函数是单调递增函数，即函数值随增大（减小）而增大（减小）；当，是递减函数，即函数值随增大（减小）而减小（增大）。
函数称为反比例函数，其函数图像是双曲线。
当且时，函数值随增大（减小）而减小（增大）；当且，函数值随增大（减小）而减小（增大），也就是说：当时，反比例函数分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当时，函数分别在第二或第四象限内是单调递增函数。
若。当时，时，两面直线平行。
当时，时，两面直线重合。
当时，两直线相交。
当时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。
例题精讲。例1：在直角坐标平面上有点、、，求为何值时取最小值。
解显然，当点**段内时，最短。
设直线方程为，代入、
得解得。所以线段为。
代入，得。例2：求证：一次函数的图像对一切有意义的恒过一定点，并求这个定点。
解由一次函数得整理得
因为等式对一切有意义的成立，所以得。
解得当，时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点。
例3：已知、、为常数，，并且求。
解用代换原方程中的，得用代换原方程中的，得。
得因为，所以，所以。
例4:如图，设因为当时，为递增函数，在上的最小值为
所以。因此在上为递减函数；在上为递增函数，故的最大值为。
例5：画函数的图像。
解 ，，将整个数轴分为四段讨论（见图）并定义域为的一切实数。
例6：一次函数图像交轴于a点，将此直线沿直线翻折交轴于b点，这两条直线相交于p点，且四边形oap b的面积为3，求k的值。
解设点p坐标为又与是翻折而成，所以面积是四边形oapb的一半等于。设代入得点为由得即点因点在上，代入得。
a卷。一、填空题。
1.设是反比例函数，则其图像经过第
象限时；当时，随增大而 。
2.两个一次函数的图像与轴所围成的三角形面积是 。
3.等腰三角形一个底角的度数记作，顶角的度数记作，将表示成的函数是 ，其中的取值范围是 。
4.如果函数的图像与直线平行，则 。
5.已知四条直线、、、所围成的车边形的面积是12，则 。
6.一次函数的图像经过点且与轴交于点，与轴交于点。若则线段的长为 。
7.已知一次函数中，若的值每增加4，的值也相应增加8，则 。
8.如果把函数的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是的图像。
9.已知一次函数则的值为 。
10.若直线不经过第二象限，则的取值范围是 。
二、解答题。
11.求证：不论为何值，一次函数的图像恒过一定点。
12.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采用提高售出价的办法来增加利润．已知这种商品每提**1元（每件），日销售量就要减少10件，那么他要使每天获利最大．应把售出价定为多少元？
b卷。一、填空题。
1.函数的最小值为 。
2.如图，正比例函数和的图像与反比例函数的图像分别交于点和点。若直角三角形和直角三角形的面积分别为和，则与的大小关系是 。
3.点、是平面直角坐标系中的两定点，是图像上的动点，则满足上述条件的直角三角形或画出个。
4.直线经过象限。
5.一个三角形以、及为三个顶点，一条与轴相垂直的直线将该三角形划分成面积相等的两部分，则此直线的解析式为
6.已知函数及则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为 。
7.双曲线与一次函数的图像有两个不同的交点，则的取值范围是 。
8.已知反比例函数，当时随的增大而增大，则一次函数的图像经过象限。
9.已知实数、满足则的取值范围是 。
10.一次函数与的图像在第四象限内交于一点，则整数 。
二、解答题。
11.设直线与直线相交于点a，它们与x轴的交点为，求中bc边上的中线所在的直线方程。
12.已知函数，(1) 求证：无论取何实数，此函数图像恒过某一定点；(2)当在内变化时，在内，求实数的值。
13.若对于满足的一切实数，函数的值恒大于0，求实数的取值范围。
14．a、b两厂生产某商品的产量分别为60吨与100吨，**三个商店。甲店需45吨，乙店需75吨，丙店需40吨。从a厂到三商店每吨运费分别为10元、5元、6元，从b厂到三商店每吨运费分别为4元、8元、15元，如何分配使总运费最省？
c卷。一、填空题。
1．函数与的图像关于直线对称则 ，2．三个一次函数、、在同一直角坐标系中的图像如图所示，分别为直线、、，则、、的大小关系是。
3.已知函数当自变量的取值范围为时，有既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数的取值范围是 。
4．已知，则函数的最小值是 。
5．一次函数满足，则 。
6．已知并且则一次函数的图像一定通过象限。
7.已知一次函数 (为整数）的图像经过点(98，19)，它与轴的交点为(p，0)，与y轴的交点为(0，q).若p为质数，q为正整数，则适合上述条件的一次函数的个数是个。
8.把函数的图像沿轴向平移个单位，再沿y轴向。
平移个单位，得到的图像。
9.方程表示成两个一次函数是 。
10.一次函数的图像经过点(10，13），它在轴上的截距是一个质数，在y轴上的截距是一个正整数，则这样的函数有个。
二、解答题。
11.如图，设直线与坐标轴所构成的直角三角形的面积是，求
12.在直角坐标系中有一个矩形，点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，点在边上，直线经过点，且与轴交于点。若，的面积是的5倍，求直线的解析式。
13.在相距为l的两个车库里，分别有、辆汽车，拟在a、b两个车库之间设修理站以检修车辆。若每辆车的运费与距离成正比例，要使全部汽车都检修一次所需要的总运费最小，修理站应设在何处？
14.已知直线和点，在直线上求一点q，使过pq的直线与直线以及轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。
第二讲一元二次方程的解法。
知识点、重点、难点。
例题精讲。例1：解方程。
例2：解方程。
例3：解关于的方程。
例4：已知首项系数不相等的两个关于的二次方程。
及（是正整数）有一个公共根，求的值。
例5：若二次方程有实根，其中、为奇数。
证明：此方程的根是无理数。
例6：解关于的方程：
习题。a卷。
一、填空题。
1. 设方程，当时，是一元一次方程；当时，是一元二次方程。
2. 方程，用方法较简捷，其根是 。
3. 用公式法解，其根是 。
4. 将方程化成的形式，可得 。
5. 若是方程的一个根，则 。
6. 若方程有一个根为0，则 。
7. 关于的方程，则 。
8. 若是方程的根，则 。
9.已知，则的值是 。
10.如果对于任意两个实数、，定义，解方程：
可得 。二、解答题。
11.用公式法解。
12.若方程与方程至少有一个相同的实数根，求实数的值。
b卷。一、填空题。
1. 解方程，则 。
2. 解方程，则 。
3. 当时，方程有一个根是1。
4. 已知，则 。
5. 已知、为方程的两个根，且，则。
6. 若是方程的一个根，其中、为有理数，则 。
7. 若1、是一元二次方程的两个根，则 。
8. 若是方程的一个根，则这个方程的另一个根是 。
9. 已知二次方程有根0与1，则 。
10. 已知关于的方程恰有一个实根，则应取值为 。
二、解答题。
11.已知方程的一个正根为，求+
的值。12.若，在一元二次方程的两个实数根中，求较大的实数根。
13.证明：若是方程的一个根，则。
也是它的一个根。
c卷。一、填空题。
1. 已知是正整数，且表示两个相邻正整数之和，则。
的值有个。2. 方程的实根个数是个。
3. 方程的解是 。
4. 已知，则 。
5. 已知关于的方程无实根，甲因看错了二次项系数解的根为；乙因看错了某项的符号解的根为，则的值是 。
6.设则的结果是 。
7. 方程，各根的和是 。
8. 已知、是方程的两个实数根，则的值为 。
9. 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三解形只有一个时，的范围是 。
10. 已知是正整数，方程，当时，两根为、
当时，两根为、…；当时，两根为、，则代数式的值等于 。
二、解答题。
11. 若三个整数、、 使得方程的两个根为、，求的值。
12.已知、、、是非零实数，、是方程的两根；、是方程的两根，求的值。
13. 已知，且。
求的值。14. 已知是方程的根，求的值。
第三讲一元二次方程根的判别式。
知识点、重点、难点。
例题精讲。例1：如、为实数，证明：方程有两相异实数根。
例2：如果x的一元二次方程有两个相等的实数根，证明：
例3：设a、b、c为正数，证明：方程和，至少有一个方程有实根。
九年级数学讲义 培优
二次根式。例1.当x是多少时，在实数范围内有意义？例2.已知y 5，求的值 例3.已知的值。例4.若 2012 a a，求a 20122的值 课堂练习题 1.求下列各式有意义的所有x的取值范围。2.如图，数轴上a,b两点表示的数分别为1和，点b关于点a的对称点为点c，则点c所表示的数是 abcd 3...
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