学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；
2．会推算°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
要点梳理】要点。
一、锐角三角函数的概念
如图所示，在rt△abc中，∠c＝90°，∠a所对的边bc记为a，叫做∠a的对边，也叫做∠b的邻边，∠b所对的边ac记为b，叫做∠b的对边，也是∠a的邻边，直角c所对的边ab记为c，叫做斜边．
锐角a的对边与斜边的比叫做∠a的正弦，记作sina，即；
锐角a的邻边与斜边的比叫做∠a的余弦，记作cosa，即；
锐角a的对边与邻边的比叫做∠a的正切，记作tana，即。
同理；；．要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sina，cosa，tana分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠a，cos与∠a，tan与∠a的乘积．书写时习惯上省略∠a的角的记号“∠”但对三个大写字母表示成的角(如∠aef)，其正切应写成“tan∠aef”，不能写成。
“tanaef”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠a<90°间变化时，，，tana＞0．
要点。二、特殊角的三角函数值。
利用三角函数的定义，可求出°角的各三角函数值，归纳如下：
要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
要点。三、锐角三角函数之间的关系。
如图所示，在rt△abc中，∠c=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
典型例题】类型。
一、锐角三角函数值的求解策略。
1．（2016安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点a，b，c都在格点上，则∠abc的正切值是（ ）
a．2 b． c． d．
思路点拨】根据勾股定理，可得ac、ab的长，根据正切函数的定义，可得答案．
答案】d．解析】
解：如图：由勾股定理，得。
ac=，ab=2，bc=，△abc为直角三角形，tan∠b==，故选：d．
总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出ac、ab的长，再求正切函数．
举一反三：变式】在中，，若，，则 ，答案】 5
类型。二、特殊角的三角函数值的计算。
2．求下列各式的值：
(1)（2015茂名校级一模） 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；
(2)（2015乐陵市模拟） sin60°﹣4cos230°+sin45°tan60°；
3)（2015宝山区一模） +tan60°﹣．
【答案与解析】
解：（1）原式=
(2) 原式=×﹣4×（）2+×
(3) 原式=+﹣
总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．
举一反三：变式】在中，，若∠a=45°，则 ，答案】45°，，
类型。三、锐角三角函数之间的关系。
3．（2015河北模拟）已知△abc中的∠a与∠b满足（1﹣tana）2+|sinb﹣|=0
1）试判断△abc的形状．
2）求（1+sina）2﹣2﹣（3+tanc）0的值．
答案与解析】
解：（1）∵|1﹣tana）2+|sinb﹣|=0，tana=1，sinb=，∠a=45°，∠b=60°，∠c=180°﹣45°﹣60°=75°，△abc是锐角三角形；
2）∵∠a=45°，∠b=60°，∠c=180°﹣45°﹣60°=75°，原式=（1+）2﹣2﹣1
总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
类型。四、锐角三角函数的拓展**与应用。
4．如图所示，ab是⊙o的直径，且ab＝10，cd是⊙o的弦，ad与bc相交于点p，若弦cd＝6，试求cos∠apc的值．
【答案与解析】
连结ac，∵ ab是⊙o的直径，∴ acp＝90°，又∵ ∠b＝∠d，∠pab＝∠pcd，∴ pcd∽△pab， ．
又∵ cd＝6，ab＝10， 在rt△pac中，
总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．
锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结ac，由ab是⊙o的直径得∠acb＝90°，，pc、pa均为未知，而已知cd＝6，ab＝10，可考虑利用△pcd∽△pab得．
5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△abc中，ab＝ac，顶角a的正对记作sada，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
1)sad60
2)对于0＜a＜180°，∠a的正对值sada的取值范围是___
3)如图1②，已知sina＝，其中∠a为锐角，试求sada的值．
答案与解析】
1)1； (2)0＜sada＜2；
3)如图2所示，延长ac到d，使ad＝ab，连接bd．
设ad＝ab＝5a，由得bc＝3a， ，cd＝5a-4a＝a， ．
总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sada＝1；(2)在图①中设想ab＝ac的长固定，并固定ab让ac绕点a旋转，当∠a接近0°时，bc接近0，则sada接近0但永远不会等于0，故sada＞0，当∠a接近180°时，bc接近2ab，则sada接近2但小于2，故sada＜2；(3)将∠a放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．
九年级锐角三角函数讲义
锐角三角函数定义。学习要求。理解一个锐角的正弦 余弦 正切的定义 能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值 课堂学习检测。一 填空题。1 如图所示，b b 是 man的an边上的任意两点，bc am于c点，b c am于c 点，则 b ac 从而，又可得。即在rt abc中 c 90 当 a...
九年级数学 下 校本练习097锐角三角函数的应用 3 坡度
命题 朱小红审核 黄士华时间 40分钟班级姓名学号 1.已知 某坡面的水平宽度为4米，坡面长度为5米，则坡面的坡度为 2.若斜坡的坡度为，则坡角。3.某人沿i 1 2.4的山坡上行了26米，此人在水平方向前进了 米。4.汽车沿坡度为1 的斜坡向上行了60米，那么它垂直上升了米。5.若一辆汽车在斜坡上...
九年级数学锐角三角函数
锐角三角函数。重点难点提示 重点 锐角三角函数的定义 特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系 难点 锐角三角函数在0 90 之间的变化规律的应用 考点 锐角三角函数的有关知识在初中数学中占有比较重要的地位 近年各地中考试题中，大多以填空或选择题的形式出现，约占考量的2.5 经典范例引路 ...