探索性问题。
问题综述。通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：
1． 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目．
2． 结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．
3． 存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．
4． 规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目．
由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：（1）利用特殊值；（2）反演推理法；（3）分类讨论法；（4）类比猜想法。
例题精讲。
例1将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．
1）四边形abcd是平行四边形吗？说出你的结论和理由。
2）如图2，将rt△bcd沿射线bd方向平移到rt△b1c1d1的位置，四边形abc1d1是平行四边形吗？说出你的结论和理由。
3）在rt△bcd沿射线bd方向平移的过程中，当点b的移动距离为___时，四边形abc1d1为矩形，其理由是当点b的移动距离为___时，四边形abc1d1为菱形，其理由是。
例2如图1所示，在中，，，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动．
1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置．若不能，请说明理由．
2）当时，设，，求与之间的函数解析式，写出的取值范围．
3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与相切（如图2），试**直线与的位置关系，并证明你的结论．
例3已知：二次函数y＝x2 (m＋1)x＋m的图象交x轴于a(x1，0)、b(x2，0)两点，交y轴正半轴于点c，且x12 ＋x22 ＝10．
1）求此二次函数的解析式；
（2）是否存在过点d(0，)的直线与抛物线交于点m、n，与x轴交于点e，使得点m、n关于点e对称？若存在，求直线mn的解析式；若不存在，请说明理由．
例4设a1＝32－12，a2＝52－32，…，an＝(2n＋1)2－(2n－1)2 (n为大于0的自然数)．
1） **an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
2） 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数(不必说明理由) ．
随堂练习。1．一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，中得到巴尔末公。
式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是。
2．将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③， 再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第n个图形中，共有___个正六边形．
3．如图，△abc面积为1，第一次操作：分别延长ab、bc、ca至点a1、b1、c1，使a1b=ab，b1c=bc，c1a=ca，顺次连接a1、b1、c1，得到△a1b1c1．第二次操作：分别延长a1b1、
b1c1、c1a1至点a2、b2、c2，使a2b1=a1b1，b2c1=b1c1，c2a1=c1a1，顺次连接a2、b2、
c2，得到△a2b2c2．……按此规律，要使得到的三角形的面积超过2009，最少经过
次操作．4．有一列数，，，从第二个数开始，每一个数都等于与它前面那个数的倒数的差，若，则。
5．如图，点p是⊙o上的一个动点，ab是弦，pc平分∠apb，∠bac=30°．当∠pac
时，四边形pacb为梯形．
6．如图，在△abc中，d为bc上一个动点（d点与b、c不重合），且de∥ac交ab于点e，df∥ab交ac于点f．
1）试**，当ad满足什么条件时，四边形aedf是菱形？并说明理由．
2）在（1）的条件下，△abc满足什么条件时，四边形aedf是正方形？请说明理由．
7．如图，p是等边三角形abc内的一点，连结pa、pb、pc，以bp为边作。
pbq＝60°，且bq＝bp，连结cq．
（1）观察并猜想ap与cq之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若pa：pb：pc＝3：4：5，连结pq，试判断△pqc的形状，并说明理由．
8．在正方形abcd中，点p是cd上一动点，连结pa，分别过点b、d作be⊥pa、df⊥pa，垂足分别为e、f，如图①．
（1）请探索be、df、ef这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点p在dc的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点p在cd的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．
9．如图，在直角坐标系xoy中，已知a（12，0），b（0，9），c（3，0），d（0，4），q 为。
线段ab上一动点，oq与过o、c、d三点的圆交于点p．问op·oq的值是否变化？证明你的结论．
10．已知：如图，抛物线经过、、三点．（1）求抛物线的函数关系式；
2）若过点c的直线与抛物线相交于点e （4，m），请求出△cbe的面积s的值；
3）在抛物线上求一点使得△abp0为等腰三角形并写出点的坐标；
4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点p使得△abp为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由．
11．已知一次函数，二次函数．是否存在二次函数，其图象经过点（-5，2），且对于任意一个实数x，这三个函数所对应的函数值、、，都有≤≤成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由．
六年级奥数第十四次习题
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